Sobre comprimentos de de arco,
[10 pontos] calcule o comprimento de arco de uma parábola y=a x^{2} entre x=0 e x= x_{0}>0.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o comprimento de arco da parábola y=a x^{2} no intervalo de abscissas entre x=0 e x=x_{0}, com x_{0}>0.\n
Informações dadas:
y=a x^{2},\qquad 0\le x\le x_{0},\qquad x_{0}>0,
onde a é uma constante (pode ser positiva ou negativa; o comprimento de arco depende de a^{2} nas fórmulas abaixo).

Passo 2

Fórmula básica (intuição e significado das variáveis): para uma curva dada por y=f(x) suave em [x_{1},x_{2}], o comprimento de arco L é obtido somando (integrando) pequenos segmentos retos que aproximam a curva. Cada pequeno segmento, quando projetado em x e y, tem comprimento aproximado \sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}. No limite \Delta x\to0 isso vira um integral. Assim a fórmula é
L=\int_{x_{1}}^{x_{2}}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Aqui f'(x) é a derivada de f em relação a x (taxa de variação vertical por unidade horizontal). No nosso caso f(x)=a x^{2}, x_{1}=0 e x_{2}=x_{0}.

Passo 3

Calcular a derivada e montar o integral para o nosso caso:\n
Derivada:
\frac{dy}{dx}=f'(x)=2a x.
Portanto o integrando fica
\sqrt{1+\bigl(2a x\bigr)^{2}}=\sqrt{1+4a^{2}x^{2}}.
Logo o comprimento de arco procurado é
L=\int_{0}^{x_{0}}\sqrt{1+4a^{2}x^{2}}\,dx.

Passo 4

Resolver o integral. Para tornar a notação mais compacta, defina
m=2a,
então o integral é
L=\int_{0}^{x_{0}}\sqrt{1+m^{2}x^{2}}\,dx.
Uma técnica muito conveniente é a substituição hiperbólica m x=\operatorname{sinh} t. Detalhando:\n
  • Se m x=\operatorname{sinh} t então x=\dfrac{\operatorname{sinh} t}{m}.\n
  • Diferenciando, dx=\dfrac{\operatorname{cosh} t}{m}\,dt.\n
  • A raiz fica \sqrt{1+m^{2}x^{2}}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}t}=\operatorname{cosh} t.\n
    Substituindo no integral:
\begin{aligned} L&=\int \operatorname{cosh} t\cdot \frac{\operatorname{cosh} t}{m}\,dt=\frac{1}{m}\int \operatorname{cosh}^{2}t\,dt. \end{aligned}
Usamos a identidade \operatorname{cosh}^{2}t=\dfrac{1+\operatorname{cosh} 2t}{2}, então
\int \operatorname{cosh}^{2}t\,dt=\frac{1}{2}\int 1\,dt+\frac{1}{2}\int \operatorname{cosh} 2t\,dt=\frac{t}{2}+\frac{\operatorname{sinh} 2t}{4}+C.
Voltando,
L=\frac{1}{m}\left(\frac{t}{2}+\frac{\operatorname{sinh} 2t}{4}\right)+C.
Agora reescrevemos em termos de x. Temos t=\operatorname{arsinh}(m x)=\ln\bigl(m x+\sqrt{1+m^{2}x^{2}}\bigr) e
\operatorname{sinh} 2t=2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t=2(m x)\sqrt{1+m^{2}x^{2}}.
Substituindo:
\begin{aligned} L&=\frac{1}{m}\cdot\frac{t}{2}+\frac{1}{m}\cdot\frac{1}{4}\cdot 2(m x)\sqrt{1+m^{2}x^{2}}+C\\[6pt] &=\frac{t}{2m}+\frac{x}{2}\sqrt{1+m^{2}x^{2}}+C. \end{aligned}
Substituindo t=\operatorname{arsinh}(m x)=\ln\bigl(m x+\sqrt{1+m^{2}x^{2}}\bigr) de volta, obtemos uma antiderivada explícita:
\int \sqrt{1+m^{2}x^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{1+m^{2}x^{2}}+\frac{1}{2m}\ln\bigl(m x+\sqrt{1+m^{2}x^{2}}\bigr)+C.]

Passo 5

Avaliar o integral definido de 0 a x_{0}. Usando a antiderivada do passo anterior com m=2a:
L=\left[\frac{x}{2}\sqrt{1+m^{2}x^{2}}+\frac{1}{2m}\ln\bigl(m x+\sqrt{1+m^{2}x^{2}}\bigr)\right]_{0}^{x_{0}}.
Avaliação em x=x_{0}
\frac{x_{0}}{2}\sqrt{1+m^{2}x_{0}^{2}}+\frac{1}{2m}\ln\bigl(m x_{0}+\sqrt{1+m^{2}x_{0}^{2}}\bigr).
Avaliação em x=0 0+\dfrac{1}{2m}\ln(0+\sqrt{1})=\dfrac{1}{2m}\ln 1=0. Portanto o comprimento é exatamente a expressão acima. Substituindo de volta m=2a obtemos a forma final:
L=\frac{x_{0}}{2}\sqrt{1+4a^{2}x_{0}^{2}}+\frac{1}{4a}\ln\bigl(2a x_{0}+\sqrt{1+4a^{2}x_{0}^{2}}\bigr).
Observação: se a=0 (caso degenerado, reta y=0) a expressão com \dfrac{1}{4a} não é válida diretamente; nesse caso o comprimento é simplesmente x_{0}. Mas para a\neq0 a expressão acima vale. Também podemos escrever a parte logarítmica usando \operatorname{arsinh}, já que \operatorname{arsinh}(z)=\ln(z+\sqrt{1+z^{2}}).

Resposta

L=\frac{x_{0}}{2}\sqrt{1+4a^{2}x_{0}^{2}}+\frac{1}{4a}\ln\!\bigl(2a x_{0}+\sqrt{1+4a^{2}x_{0}^{2}}\bigr)

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