Sobre comprimentos de de arco,
[10 pontos] calcule o comprimento de arco de uma parábola
entre
e
.
[10 pontos] calcule o comprimento de arco de uma parábola
Passo 1
O enunciado pede: calcular o comprimento de arco da parábola
no intervalo de abscissas entre
e
, com
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
onde
é uma constante (pode ser positiva ou negativa; o comprimento de arco depende de
nas fórmulas abaixo).
Passo 2
Fórmula básica (intuição e significado das variáveis): para uma curva dada por
suave em
, o comprimento de arco
é obtido somando (integrando) pequenos segmentos retos que aproximam a curva. Cada pequeno segmento, quando projetado em
e
, tem comprimento aproximado
. No limite
isso vira um integral. Assim a fórmula é
Aqui
é a derivada de
em relação a
(taxa de variação vertical por unidade horizontal). No nosso caso
,
e
.
Passo 3
Calcular a derivada e montar o integral para o nosso caso:\n
Derivada:
Derivada:
Portanto o integrando fica
Logo o comprimento de arco procurado é
Passo 4
Resolver o integral. Para tornar a notação mais compacta, defina
então o integral é
Uma técnica muito conveniente é a substituição hiperbólica
. Detalhando:\n
- Se
então .\n - Diferenciando,
.\n - A raiz fica
.\n
Substituindo no integral:
Usamos a identidade
, então
Voltando,
Agora reescrevemos em termos de
. Temos
e
Substituindo:
Substituindo
de volta, obtemos uma antiderivada explícita:
Passo 5
Avaliar o integral definido de
a
. Usando a antiderivada do passo anterior com
:
Avaliação em
dá
Avaliação em
dá
. Portanto o comprimento é exatamente a expressão acima. Substituindo de volta
obtemos a forma final:
Observação: se
(caso degenerado, reta
) a expressão com
não é válida diretamente; nesse caso o comprimento é simplesmente
. Mas para
a expressão acima vale. Também podemos escrever a parte logarítmica usando
, já que
.