Sobre o conjuntos de pontos críticos de
, marque a única alternativa correta:
(a)
tem dois pontos críticos e pelo menos um deles é de máximo local.
(b)
tem dois pontos críticos e pelo menos um deles é de mínimo local.
©
tem 4 pontos críticos. Dois deles são de máximo e dois deles são de mínimo.
(d)
tem 4 pontos críticos. Dois deles são de máximo e dois deles são de sela.
(e) Nenhuma das alternativas acima.
(a)
(b)
©
(d)
(e) Nenhuma das alternativas acima.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de f(x,y)=x³−4x−y³+y. Isso envolve derivadas parciais, solução do sistema ∂f/∂x=0, ∂f/∂y=0 e depois usar o teste da Hessiana para identificar máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais de f:
Em seguida igualamos cada uma a zero para achar os pontos críticos.
Passo 3
Resolva o sistema:
Logo existem 4 pontos críticos: (±2/√3,±1/√3).
Passo 4
Forme a matriz Hessiana
O teste da Hessiana diz que em cada ponto calculamos D=det(H)=f_{xx}·f_{yy} e olhamos o sinal de D e de f_{xx}: se D>0 e f_{xx}>0 é mínimo, se D>0 e f_{xx}<0 é máximo, se D<0 é sela.
Passo 5
Avalie em cada ponto crítico:
(1) (2/√3, 1/√3): fₓₓ>0, fᵧᵧ<0 ⇒ D<0 ⇒ sela
(2) (2/√3, −1/√3): fₓₓ>0, fᵧᵧ>0 ⇒ D>0 e fₓₓ>0 ⇒ mínimo
(3) (−2/√3, 1/√3): fₓₓ<0, fᵧᵧ<0 ⇒ D>0 e fₓₓ<0 ⇒ máximo
(4) (−2/√3, −1/√3): fₓₓ<0, fᵧᵧ>0 ⇒ D<0 ⇒ sela
(1) (2/√3, 1/√3): fₓₓ>0, fᵧᵧ<0 ⇒ D<0 ⇒ sela
(2) (2/√3, −1/√3): fₓₓ>0, fᵧᵧ>0 ⇒ D>0 e fₓₓ>0 ⇒ mínimo
(3) (−2/√3, 1/√3): fₓₓ<0, fᵧᵧ<0 ⇒ D>0 e fₓₓ<0 ⇒ máximo
(4) (−2/√3, −1/√3): fₓₓ<0, fᵧᵧ>0 ⇒ D<0 ⇒ sela
Passo 6
Concluímos que há 4 pontos críticos: 1 máximo, 1 mínimo e 2 pontos de sela. Nenhuma das alternativas (a)–(d) descreve essa configuração, então a resposta correta é a (e).
Resposta
(e) Nenhuma das alternativas acima.