Sobre o conjuntos de pontos críticos de f(x, y)=x^3-4 x-y^3+y, marque a única alternativa correta:
(a) f tem dois pontos críticos e pelo menos um deles é de máximo local.
(b) f tem dois pontos críticos e pelo menos um deles é de mínimo local.
© f tem 4 pontos críticos. Dois deles são de máximo e dois deles são de mínimo.
(d) f tem 4 pontos críticos. Dois deles são de máximo e dois deles são de sela.
(e) Nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de f(x,y)=x³−4x−y³+y. Isso envolve derivadas parciais, solução do sistema ∂f/∂x=0, ∂f/∂y=0 e depois usar o teste da Hessiana para identificar máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=3x^2-4
partial fpartial y=-3y^2+1
Em seguida igualamos cada uma a zero para achar os pontos críticos.

Passo 3

Resolva o sistema:
3x^2-4=0implies x^2=43implies x=pm2raiz3,
-3y^2+1=0implies y^2=13implies y=pm1raiz3
Logo existem 4 pontos críticos: (±2/√3,±1/√3).

Passo 4

Forme a matriz Hessiana
H(x,y)=fxx&fxyfyx&fyy=6x&00&-6y
O teste da Hessiana diz que em cada ponto calculamos D=det(H)=f_{xx}·f_{yy} e olhamos o sinal de D e de f_{xx}: se D>0 e f_{xx}>0 é mínimo, se D>0 e f_{xx}<0 é máximo, se D<0 é sela.

Passo 5

Avalie em cada ponto crítico:
(1) (2/√3, 1/√3): fₓₓ>0, fᵧᵧ<0 ⇒ D<0 ⇒ sela
(2) (2/√3, −1/√3): fₓₓ>0, fᵧᵧ>0 ⇒ D>0 e fₓₓ>0 ⇒ mínimo
(3) (−2/√3, 1/√3): fₓₓ<0, fᵧᵧ<0 ⇒ D>0 e fₓₓ<0 ⇒ máximo
(4) (−2/√3, −1/√3): fₓₓ<0, fᵧᵧ>0 ⇒ D<0 ⇒ sela

Passo 6

Concluímos que há 4 pontos críticos: 1 máximo, 1 mínimo e 2 pontos de sela. Nenhuma das alternativas (a)–(d) descreve essa configuração, então a resposta correta é a (e).

Resposta

(e) Nenhuma das alternativas acima.

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