Sobre o conjunto de pontos críticos de f(x, y)=x y^2-y ln x, marque a única alternativa correta.
(a) f tem apenas um ponto crítico.
(b) f tem exatamente dois pontos críticos.
© f tem exatamente três pontos pontos críticos.
(d) f tem infinitos pontos críticos
(e) Nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o número de pontos críticos da função f(x,y)=xy^2 - y,ln x, cujo domínio é x>0. Vamos usar derivadas parciais para encontrar onde o gradiente de f se anula.

Passo 2

Calcule a derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x = y^2 - y1x = y^2 - yx
E em relação a y:
partial fpartial y = 2xy - ln x

Passo 3

Igualamos partial fpartial x=0, ou seja:
y^2 - yx = 0 implies yl(y - 1xr) = 0
Isso gera duas possibilidades: y=0 ou y=1/x.

Passo 4

Analisando a primeira possibilidade y=0: substituímos em partial fpartial y=0:
2xcdot0 - ln x = -ln x = 0 implies x=1
Logo obtemos o ponto crítico (1,0).

Passo 5

Analisando a segunda possibilidade y=1/x: substituímos em partial fpartial y=0:
2xl(1xr) - ln x = 2 - ln x = 0 implies ln x = 2 implies x = e^2,
e portanto y=1/e^2. Isso gera o ponto crítico (e^2,1/e^2).

Passo 6

Concluímos que existem exatamente dois pontos críticos: (1,0) e (e^2,1/e^2).

Resposta

f tem exatamente dois pontos críticos.

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