Sobre consistência dimensional:
Demonstre a consistência adimensional nos números de Fourier e o fator de atrito
, onde:
Em que
é a difusividade térmica
, t é o tempo,
é o comprimento,
é a queda de pressão, D é o diâmetro,
é a velocidade média,
é a massa específica.
Demonstre a consistência adimensional nos números de Fourier e o fator de atrito
Passo 1
Beleza, a questão pede pra mostrar que o número de Fourier
e o fator de atrito
são adimensionais (ou seja, sem unidade). O conteúdo é análise dimensional: a gente vai olhar as unidades (dimensões) de cada grandeza (α, t, L, ΔP, D, ρ, u_m) e verificar que, ao montar essas frações, tudo cancela. Vamos precisar lembrar das dimensões base: comprimento [L], tempo [T], massa [M].
Passo 2
Análise do número de Fourier
- Primeiro, escrevo as dimensões de cada termo:
- Difusividade térmica:
- Tempo:
- Comprimento:
2) Montando o número:
3) Simplificando:
Ou seja, todas as potências de L e T se cancelam. - Difusividade térmica:
Passo 3
Análise do fator de atrito
- Dimensões das grandezas:
- Queda de pressão:
- Comprimento/diâmetro:
(é adimensional) - Densidade:
- Velocidade média:
2) Termo do denominador:
$$\rho,u_m2;\Rightarrow;\frac{M}{L3},\Bigl(\frac{L}{T}\Bigr)^2=\frac{M}{L3},\frac{L2}{T^2}=\frac{M}{L,T^2}f=\frac{\Delta P}{(L/D),\bigl(\rho,u_m^2/2\bigr)}\quad\Rightarrow\quad[f]=\frac{\dfrac{M}{L,T2}}{1;\times;\dfrac{M}{L,T2}}=1$$
De novo, tudo cancela.
- Queda de pressão:
Resposta
Os dois números,
e
, são adimensionais, isto é, consistentes do ponto de vista da análise dimensional.