Sobre consistência dimensional:
Demonstre a consistência adimensional nos números de Fourier e o fator de atrito f, onde:
F o=alpha tL^2 e f=De
Em que alpha é a difusividade térmica (m^2 / s), t é o tempo, L é o comprimento, De é a queda de pressão, D é o diâmetro, um é a velocidade média, rho é a massa específica.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra mostrar que o número de Fourier
Fo=alpha,tL^2
e o fator de atrito
f=De
são adimensionais (ou seja, sem unidade). O conteúdo é análise dimensional: a gente vai olhar as unidades (dimensões) de cada grandeza (α, t, L, ΔP, D, ρ, u_m) e verificar que, ao montar essas frações, tudo cancela. Vamos precisar lembrar das dimensões base: comprimento [L], tempo [T], massa [M].

Passo 2

Análise do número de Fourier
  1. Primeiro, escrevo as dimensões de cada termo:
    • Difusividade térmica: [alpha]=L^2,T^-1
    • Tempo: [t]=T
    • Comprimento: [L]=L
      2) Montando o número:
      Fo=alpha,tL^2
    então as dimensões são [Fo]=[alpha],[t][L]^2=(L^2,T^-1),(T)L^2
    3) Simplificando:
    (L^2,T^-1),(T)=L^2,,e dividindo por L^2Rightarrow[Fo]=1Ou seja, todas as potências de L e T se cancelam.

Passo 3

Análise do fator de atrito
  1. Dimensões das grandezas:
    • Queda de pressão: [De
    • Comprimento/diâmetro: l[L/Dr]=LL=1 (é adimensional)
    • Densidade: [rho]=ML^3
    • Velocidade média: [um]=LT
      2) Termo do denominador:
      $$\rho,u_m2;\Rightarrow;\frac{M}{L3},\Bigl(\frac{L}{T}\Bigr)^2=\frac{M}{L3},\frac{L2}{T^2}=\frac{M}{L,T^2} rho,um^2;Rightarrow;ML^3,l(LTr)^2 =ML^3,L^2T^2 =ML,T^2ããf=\frac{\Delta P}{(L/D),\bigl(\rho,u_m^2/2\bigr)}\quad\Rightarrow\quad[f]=\frac{\dfrac{M}{L,T2}}{1;\times;\dfrac{M}{L,T2}}=1$$
      De novo, tudo cancela.

Resposta

Os dois números, Fo e f, são adimensionais, isto é, consistentes do ponto de vista da análise dimensional.

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