(2 pontos) Em um estudo de captura a massa de 10 passáros migratórios foi medida em duas ocasiões distintas. Os dados obtidos estão na tabela abaixo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
med1 10.3 11.4 10.9 12 10 11.9 12.2 12.3 11.7 12
med2 12.2 12.1 13.1 11.9 12 12.9 11.4 12.1 13.5 12.3
a) Determine qual é a quantidade pivotal para se contruir um intervalo de confiança de l|llllllllll hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 hline med1 & 10.3 & 11.4 & 10.9 & 12 & 10 & 11.9 & 12.2 & 12.3 & 11.7 & 12 med2 & 12.2 & 12.1 & 13.1 & 11.9 & 12 & 12.9 & 11.4 & 12.1 & 13.5 & 12.3 hline para a diferença média de massa;
b) Construa um intervalo de (1-alpha) 100 % de confiança para a diferença média de massas dos dados da tabela;
c) Verifique se houve ganho, redução ou manutenção de massa.

Passo 1

Então, vamos por partes! A gente tem aqui a massa de 10 passarinhos migratórios medida em duas ocasiões diferentes. O objetivo dessa questão é:
a) Descobrir qual é a quantidade pivotal que usamos para construir um intervalo de confiança para a diferença média de massa.
b) Construir um intervalo de confiança de 98% para essa diferença média de massas.
c) Verificar se os passarinhos ganharam, perderam ou mantiveram a massa ao longo do tempo.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender sobre Intervalos de Confiança, a diferença entre medidas emparelhadas e a distribuição t de Student.

Passo 2

Parte a: Determinar a quantidade pivotal
Primeiro, precisamos entender o que é uma quantidade pivotal. Basicamente, é uma estatística que usamos para construir intervalos de confiança e que não depende dos parâmetros desconhecidos da população.
Como estamos lidando com a diferença de massas medidas na mesma amostra (mesmos passarinhos medidos duas vezes), podemos usar a distribuição t de Student para construir nosso intervalo de confiança.
A quantidade pivotal para esse caso é dada por:
t = bard - mudsd / raizn
Onde:
  • bard é a média das diferenças das massas.
  • mud é a média verdadeira das diferenças (que queremos estimar).
  • sd é o desvio padrão das diferenças.
  • n é o número de pares (neste caso, 10 passarinhos).
Essa expressão segue uma distribuição t com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Parte b: Construir o intervalo de confiança de 98%
Vamos seguir os passos para construir o intervalo:
  1. Calcular as diferenças individuais ( di) entre med2 e med1 para cada passarinho.
  2. Calcular a média das diferenças ( bard):
    bard = sum din
  3. Calcular o desvio padrão das diferenças ( sd):
    sd = raizsum (di - bard)^2n-1
  4. Determinar o valor crítico talpha/2 para um intervalo de 98% e n-1 = 9 graus de liberdade. Usando uma tabela t ou uma calculadora, encontramos aproximadamente t0.99, 9 = 2.821.
  5. Construir o intervalo de confiança usando a fórmula:
    bard pm talpha/2 times sdraizn
Vamos fazer os cálculos:
Diferenças ( di):
d1 &= 12.2 - 10.3 = 1.9 d2 &= 12.1 - 11.4 = 0.7 d3 &= 13.1 - 10.9 = 2.2 d4 &= 11.9 - 12 = -0.1 d5 &= 12 - 10 = 2 d6 &= 12.9 - 11.9 = 1 d7 &= 11.4 - 12.2 = -0.8 d8 &= 12.1 - 12.3 = -0.2 d9 &= 13.5 - 11.7 = 1.8 d10 &= 12.3 - 12 = 0.3
Média das diferenças ( bard):
bard = 1.9 + 0.7 + 2.2 - 0.1 + 2 + 1 - 0.8 - 0.2 + 1.8 + 0.310 = 8.810 = 0.88 , kg
Desvio padrão das diferenças ( sd):
Primeiro, calculamos cada (di - bard)^2:
(1.9 - 0.88)^2 &= 1.04 (0.7 - 0.88)^2 &= 0.0324 (2.2 - 0.88)^2 &= 1.7424 (-0.1 - 0.88)^2 &= 0.9604 (2 - 0.88)^2 &= 1.2544 (1 - 0.88)^2 &= 0.0144 (-0.8 - 0.88)^2 &= 3.0464 (-0.2 - 0.88)^2 &= 1.1664 (1.8 - 0.88)^2 &= 0.8464 (0.3 - 0.88)^2 &= 0.3364
Somando esses valores:
sum (di - bard)^2 = 1.04 + 0.0324 + 1.7424 + 0.9604 + 1.2544 + 0.0144 + 3.0464 + 1.1664 + 0.8464 + 0.3364 = 10.248
Então:
sd = raiz10.2489 approx raiz1.1387 approx 1.067 , kg
Valor crítico t0.99, 9 = 2.821
Construindo o intervalo:
0.88 pm 2.821 times 1.067raiz10 approx 0.88 pm 2.821 times 0.337 approx 0.88 pm 0.952
Portanto, o intervalo de confiança é aproximadamente de -0.072 , kg a 1.832 , kg.

Passo 4

Parte c: Verificar ganho, redução ou manutenção de massa
Olha só o intervalo que construímos: -0.072 , kg a 1.832 , kg.
Esse intervalo inclui o valor zero, o que significa que não temos evidências suficientes para afirmar que houve uma alteração significativa na massa dos passarinhos. Pode ter havido um pequeno ganho ou perda, ou até mesmo nenhuma mudança.

Resposta

a) A quantidade pivotal é:
t = bard - mudsd / raizn
b) O intervalo de confiança de 98% para a diferença média de massa é aproximadamente de -0.072 , kg a 1.832 , kg.
c) Houve manutenção de massa, já que o intervalo inclui zero.

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