Sabendo que o campo vetorial dado pela função abaixo é conservativo, determine a função potencial e assinale a alternativa correta.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, a questão diz que temos um campo vetorial
e pede pra achar a função potencial
, isto é, uma função cuja derivada parcial em cada variável dá as componentes de
. O conteúdo aqui é “campo conservativo e função potencial”: vamos usar que
sendo
,
e
. Só precisamos de cálculo de derivadas parciais e integrais simples.
Passo 2
Começando de fato, integramos a componente
em relação a
:
onde
é “constante” de integração que pode depender só de
e
.
Passo 3
Agora usamos a segunda condição:
e sabemos que isso deve ser igual a
. Logo
Isso significa que, ao integrar em
,
com outra “constante”
que depende só de
.
Passo 4
Até agora temos
Falta determinar
usando
que deve igualar
. Então
Passo 5
Integramos
em
:
onde
é constante geral. Logo a função potencial completa é
Resposta
Comparando com as alternativas, a que bate direitinho é a letra (B):