Sabendo que o campo vetorial dado pela função abaixo é conservativo, determine a função potencial e assinale a alternativa correta.
F(x, y, z)=(yz+2)i+(xz+1)j+(xy+2z)k
(A)
f(x, y, z)=3xyz+6x-y+xz^2+k
(B)
f(x, y, z)=xyz+2x+y+z^2+k
©
f(x, y, z)=+2x^3+2y^3+2z^3+k
(D)
f(x, y, z)=xyz+2x+y+k
(E)
f(x, y, z)=2x^2yz^2+2+z^2+k

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos um campo vetorial
F(x,y,z) = (yz+2),i + (xz+1),j + (xy+2z),k
e pede pra achar a função potencial partial fpartial x = P, partial fpartial y = Q, partial fpartial z = R, , isto é, uma função cuja derivada parcial em cada variável dá as componentes de . O conteúdo aqui é “campo conservativo e função potencial”: vamos usar que
sendo , e . Só precisamos de cálculo de derivadas parciais e integrais simples.

Passo 2

Começando de fato, integramos a componente partial fpartial x = yz + 2 Longrightarrow f(x,y,z) = integral (yz+2),dx = xyz + 2x + g(y,z), em relação a :
onde é “constante” de integração que pode depender só de e .

Passo 3

Agora usamos a segunda condição:
partial fpartial y = xz + partial gpartial y
e sabemos que isso deve ser igual a xz + gy(y,z) = xz + 1 Longrightarrow gy(y,z) = 1 . Logo
g(y,z) = integral 1,dy = y + h(z),
Isso significa que, ao integrar em ,
com outra “constante” que depende só de .

Passo 4

Até agora temos
f(x,y,z) = xyz + 2x + y + h(z)
Falta determinar partial fpartial z = xy + h'(z) usando
xy + h'(z) = xy + 2z Longrightarrow h'(z) = 2z
que deve igualar . Então

Passo 5

Integramos h(z) = integral 2z,dz = z^2 + k, em f(x,y,z) = xyz + 2x + y + z^2 + k :
onde é constante geral. Logo a função potencial completa é

Resposta

Comparando com as alternativas, a que bate direitinho é a letra (B):
boxedf(x,y,z)=xyz+2x+y+z^2+k

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