Sobre o critério de mínimos quadrados na análise de regressão linear, podemos afirmar que o mesmo:

Alternativas

A. minimiza o valor máximo dos resíduos.
B. estima os parâmetros do modelo maximizando a soma dos resíduos.
C. estima os parâmetros do modelo minimizando a soma dos quadrados dos resíduos.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das três alternativas sobre o critério de mínimos quadrados é correta. As alternativas são:
A. minimiza o valor máximo dos resíduos.
B. estima os parâmetros do modelo maximizando a soma dos resíduos.
C. estima os parâmetros do modelo minimizando a soma dos quadrados dos resíduos.
Informações dadas pelo enunciado: temos três afirmações sobre o comportamento do método de mínimos quadrados (cada uma descreve um tipo de objetivo de ajuste). A tarefa é identificar qual afirmação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que são modelo, predição e resíduos. Vou explicar devagarinho.
Considere um modelo de regressão linear simples (o raciocínio vale para modelos com mais variáveis também). Para cada observação i temos:
y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \varepsilon_i,
onde:
  • y_i é o valor observado da variável resposta na observação i;
  • x_i é o valor da variável explicativa na observação i;
  • \beta_0 e \beta_1 são parâmetros reais do modelo (intercepto e coeficiente angular) que queremos estimar;
  • \varepsilon_i é o erro (ruído) da observação i.
Quando estimamos os parâmetros obtemos a predição
\hat{y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i.
O resíduo (ou erro de ajuste) da i-ésima observação é a diferença entre observado e previsto:
\hat{\varepsilon}_i = y_i - \hat{y}_i = y_i - (\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x_i).
Resumindo: resíduo é o “quanto erramos” na predição para cada ponto.

Passo 3

Agora explico o que o critério de mínimos quadrados (OLS — Ordinary Least Squares) faz. OLS escolhe os valores \hat{\beta}_0 e \hat{\beta}_1 que tornam a soma dos quadrados dos resíduos a menor possível. Formalmente definimos a função objetivo
S(\beta_0,\beta_1)=\sum_{i=1}^{n} \bigl(y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i)\bigr)^2 = \sum_{i=1}^{n} \bigl(\varepsilon_i\bigr)^2.
O método de mínimos quadrados procura
(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)=\arg\min_{(\beta_0,\beta_1)} S(\beta_0,\beta_1).
Comentários didáticos:
  • Por que quadrados? Porque elevar ao quadrado transforma resíduos negativos em positivos e penaliza mais fortemente resíduos grandes; isso torna a função S diferenciável e convexa, o que facilita encontrar um mínimo único.
  • Isso é diferente de somar resíduos sem elevar ao quadrado (essa soma costuma dar zero quando há intercepto), e diferente de minimizar o máximo absoluto do resíduo (que seria outro critério).

Passo 4

Para aprofundar e conectar com as alternativas: mostro que a primeira condição de ótimo (derivadas parciais nulas) dá uma propriedade importante. Diferenciando S em relação a \beta_0 e \beta_1 e igualando a zero obtemos as equações normais.
Calcule a derivada parcial em relação a \beta_0:
\frac{\partial S}{\partial \beta_0} = -2\sum_{i=1}^n \bigl(y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i\bigr).
Igualando a zero:
\sum_{i=1}^n \bigl(y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i\bigr)=0.
Essa equação é exatamente
\sum_{i=1}^n \hat{\varepsilon}_i = 0,
ou seja, a soma dos resíduos em um ajuste com intercepto é zero. Isso já permite responder à alternativa B: maximizar a soma dos resíduos faz pouco sentido porque, na prática, a soma dos resíduos no ajuste por mínimos quadrados é forçada a ser zero — não é um critério que OLS maximize. Portanto B está errada.

Passo 5

Mostro agora porque a alternativa A está errada. A diz que OLS “minimiza o valor máximo dos resíduos” — isto corresponde a minimizar \max_i |\hat{\varepsilon}_i|, que é um problema de minimax (norma L_\infty). Esse é um critério totalmente diferente do L_2 (média dos quadrados) que OLS usa. Existem métodos que minimizam o máximo absoluto do erro (por exemplo ajustes de Chebyshev / minimax), ou que minimizam a soma dos valores absolutos (norma L_1, regressão por mínimos valores absolutos), mas OLS NÃO faz isso. OLS minimiza a soma dos quadrados dos resíduos, não o máximo. Logo A está errada.

Passo 6

Reforço pedagógico final: a definição básica do critério de mínimos quadrados é exatamente procurar os parâmetros que deixam pequena a soma dos quadrados dos erros. Essa é a maneira padrão em regressão linear porque gera estimadores com boas propriedades (por exemplo, quando erros são independentes e normalmente distribuídos, os estimadores OLS coincidem com os de máxima verossimilhança e são eficientes entre estimadores lineares).
Portanto, comparando diretamente com as alternativas:
  • A (minimizar o máximo dos resíduos) — incorreto, é outro critério (minimax).
  • B (maximizar a soma dos resíduos) — incorreto; para OLS a soma dos resíduos é zero (com intercepto), e OLS não maximiza essa soma.
  • C (minimizar a soma dos quadrados dos resíduos) — correto, é a definição do método.

Resposta

C.

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