Um pesquisador está analisando a relação entre o número de horas de estudo (x) e a nota obtida em uma prova (y) por cinco estudantes. Os dados coletados foram os seguintes:
\mathbf{x} (Horas de estudo) 2 4 6 8 10
\mathbf{y} (Nota) 50 55 60 65 70
Se necessário, utilize as informações a seguir:
\Sigma x=30, \Sigma y=300, \Sigma x \cdot y=1900, \Sigma x^{2}=220, \Sigma y^{2}=18250
Com base nesses dados, a equação da reta de regressão, em que y é a variável dependente, é dada por
A. y=45+2,5 x.
B. y=45+2 x.
C. \mathrm{y}=50+1,5 \mathrm{x}.
D. \mathrm{y}=50+2,5 \mathrm{x}.
E. \mathrm{y}=48+2 \mathrm{x}.

Passo 1

O enunciado dá os pares (x,y) (horas de estudo, nota) para cinco estudantes:
x: 2,\;4,\;6,\;8,\;10
y: 50,\;55,\;60,\;65,\;70
Também foram fornecidos os somatórios:
\Sigma x=30,\;\Sigma y=300,\;\Sigma x\cdot y=1900,\;\Sigma x^{2}=220,\;\Sigma y^{2}=18250.
A pergunta pede: qual é a equação da reta de regressão (com y como variável dependente) entre as alternativas A–E?

Passo 2

Para encontrar a reta de regressão linear ajustada por mínimos quadrados usamos a forma
\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x,
onde:
\hat{\beta}_1=\frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2} - (\sum x)^{2}}
é o coeficiente angular (inclinação) e
\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}
é o coeficiente linear (intercepto). Aqui n é o número de observações, \bar{x}=\dfrac{\sum x}{n} e \bar{y}=\dfrac{\sum y}{n}. Intuição rápida: \hat{\beta}_1 diz quanto, em média, a nota y aumenta quando x aumenta uma unidade; \hat{\beta}_0 é a previsão de y quando x=0.

Passo 3

Calculemos \hat{\beta}_1. Temos n=5. Substituindo os somatórios na fórmula do numerador:
\text{num} = n\sum xy - (\sum x)(\sum y) = 5\cdot 1900 - 30\cdot 300.
Compute cada produto:
5\cdot 1900 = 9500,\qquad 30\cdot 300 = 9000.
Logo
\text{num} = 9500 - 9000 = 500.

Passo 4

Agora o denominador:
\text{den} = n\sum x^{2} - (\sum x)^{2} = 5\cdot 220 - 30^{2}.
Compute:
5\cdot 220 = 1100,\qquad 30^{2} = 900.
Logo
\text{den} = 1100 - 900 = 200.

Passo 5

Assim a inclinação é
\hat{\beta}_1 = \frac{\text{num}}{\text{den}} = \frac{500}{200} = 2,5.
Interpretação rápida:, em média, cada hora de estudo extra aumenta a nota em 2{,}5 pontos.

Passo 6

Calculemos as médias para obter o intercepto:
\bar{x}=\frac{\sum x}{n}=\frac{30}{5}=6,\qquad \bar{y}=\frac{\sum y}{n}=\frac{300}{5}=60.
Agora
\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}=60-2{,}5\cdot 6.
Compute:
2{,}5\cdot 6 = 15,\qquad 60-15=45.
Logo \hat{\beta}_0 = 45.

Passo 7

Escrevendo a equação da reta de regressão:
\hat{y}=45+2{,}5x.
Comparando com as opções dadas, isso corresponde à alternativa A.

Resposta

A. \hat{y}=45+2{,}5x

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