Sobre a distribuição NORMAL, responda à questão abaixo:
A espessura das chapas metálicas produzidas em uma usina é uma variável aleatória contínua X com média 120 mm e desvio padrão 1,5 mm. O engenheiro encarregado da produção destas chapas precisa garantir que as chapas produzidas tenham espessura entre 117,5 mm e 122,5 mm. Considerando que a variável X (espessura das placas) tem distribuição NORMAL, determine o percentual de placas produzidas que terão espessura dentro do intervalo desejado.

Passo 1

Beleza, a questão diz que a espessura das chapas é uma variável aleatória contínua com distribuição Normal de média mm e desvio padrão mm. O engenheiro quer saber qual a porcentagem de chapas que ficam entre 117,5 mm e 122,5 mm. Para resolver vamos precisar:
  • Entender a distribuição Normal e como usar a função de distribuição acumulada (CDF).
  • Padronizar a variável (transformar em ).
  • Consultar a tabela ou usar a CDF da Normal padrão.

Passo 2

Teoria da padronização: se Z = X - musigma , definimos
Então segue a Normal padrão . Isso serve para usarmos a tabela da Normal (que só existe para média 0 e desvio 1).

Passo 3

Vamos achar os limites padronizados.
Para o limite inferior z1 = 117,5 - 1201,5 = -2,51,5 approx -1,6667 :
z2 = 122,5 - 1201,5 = 2,51,5 approx 1,6667
Para o limite superior :

Passo 4

Agora queremos
P(117,5 < X < 122,5) = P(z1 < Z < z2) = P(-1,6667 < Z < 1,6667)
Pela simetria da Normal padrão,
P(-a < Z < a) = 2,Phi(a) - 1,
onde P = 2 times 0,9522 - 1 = 1,9044 - 1 = 0,9044 é a CDF da Normal em . Da tabela,
.
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Resposta

Cerca de 90,44% das chapas terão espessura entre 117,5 mm e 122,5 mm.

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