Sobre a função f(x)=x^{2}-2 x-3, é correto afirmar que:
a) seus valores são negativos para qualquer valor de x.
b) é crescente para x>1.
c) tem somente valores positivos para x>0.
d) é decrescente para -1<x<3.
e) seu menor valor ocorre quando x=-1

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-2x-3 e pede que se analise cinco afirmativas (a)–(e) sobre sinais, monotonicidade e lugar do mínimo. Ou seja, preciso verificar quais dessas afirmativas são verdadeiras ou falsas, usando a expressão fornecida. Informação dada explicitamente: a fórmula da função é f(x)=x^{2}-2x-3.

Passo 2

Encontrar as raízes da parábola (onde f(x)=0) — isso ajuda a entender onde a função é positiva ou negativa.
Fatorando o polinômio:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto as raízes são x=-1 e x=3, porque (x-3)(x+1)=0 x=3 ou x=-1.
Explicação didática curta: fatorar um quadrático consiste em achar dois números cujo produto seja o termo constante ( -3) e cuja soma seja o coeficiente de x ( -2). Aqui esses números são -3 e 1, o que gera (x-3)(x+1).

Passo 3

Analisar o sinal da função usando as raízes e o coeficiente líder (coeficiente de x^2).
  • O coeficiente de x^{2} é +1, positivo, então a parábola abre para cima. Isso implica que a função será negativa entre as raízes e positiva fora delas.
  • Como as raízes são x=-1 e x=3, temos:
    • f(x)<0 para -1<x<3,
    • f(x)=0 para x=-1 e x=3,
    • f(x)>0 para x<-1 ou x>3.
Consequências imediatas para algumas alternativas:
  • A alternativa (a) afirma que "seus valores são negativos para qualquer valor de x". Isso é falso, porque por exemplo para x=4 temos f(4)=4^{2}-2\cdot4-3=16-8-3=5>0.
  • A alternativa (c) afirma que "tem somente valores positivos para x>0". Isso é falso, porque para x=1 (que é >0) f(1)=1-2-3=-4<0.

Passo 4

Determinar onde a função é crescente ou decrescente — usamos derivada (ou raciocínio sobre vértice) para isso.
Calcule a derivada de f: a regra básica é derivar termo a termo (regra do poder: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-2x-3\bigr)=2x-2.
Interpretação didática: f'(x) dá a inclinação (sinal do coeficiente angular da reta tangente). Se f'(x)>0 a função está subindo (crescente) naquele ponto; se f'(x)<0 está descendo (decrescente).
Ache onde a derivada muda de sinal:
f'(x)=0 \iff 2x-2=0 \iff x=1.
  • Para x<1 temos 2x-2<0 então f'(x)<0: função decrescente para x<1.
  • Para x>1 temos 2x-2>0 então f'(x)>0: função crescente para x>1.
Isto responde sobre a alternativa (b): "é crescente para x>1". Com base na derivada, isso é verdadeiro.

Passo 5

Verificar a alternativa (d): "é decrescente para -1<x<3".
Pelo passo anterior, a função é decrescente apenas quando x<1. O intervalo -1<x<3 atravessa x=1; para x>1 ela já é crescente. Portanto a afirmação (d) é falsa. Um contraexemplo simples: em x=2 (que está em -1<x<3) temos f'(2)=2\cdot2-2=2>0, logo a função está crescendo em x=2, contradizendo (d).

Passo 6

Determinar o ponto onde ocorre o menor valor (vértice), para checar a alternativa (e).
Método 1 (derivada): como f'(x)=2x-2, o único ponto crítico é x=1. Como a parábola abre para cima, esse ponto é mínimo.
Método 2 (completar o quadrado) — isso também dá o vértice explicitamente:
x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-1-3=(x-1)^{2}-4.
Da forma (x-1)^{2}-4 fica claro que o mínimo acontece em x=1 e o valor mínimo é -4. Assim f(1)=-4. Em particular, a alternativa (e) que afirma que "seu menor valor ocorre quando x=-1" é falsa (em x=-1 o valor é f(-1)=0, maior que -4).

Passo 7

Resumo rápido das verificações:
  • (a) falso (há x com f(x)>0, por exemplo x=4).
  • (b) verdadeiro (derivada mostra f'(x)>0 para x>1).
  • (c) falso (por exemplo x=1>0 tem f(1)=-4<0).
  • (d) falso (função não é decrescente em todo -1<x<3; em x=2 é crescente).
  • (e) falso (mínimo em x=1, não em x=-1).

Resposta

b)

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