Sobre a função
, é correto afirmar que:
a) seus valores são negativos para qualquer valor de
.
b) é crescente para
.
c) tem somente valores positivos para
.
d) é decrescente para
.
e) seu menor valor ocorre quando
a) seus valores são negativos para qualquer valor de
b) é crescente para
c) tem somente valores positivos para
d) é decrescente para
e) seu menor valor ocorre quando
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se analise cinco afirmativas (a)–(e) sobre sinais, monotonicidade e lugar do mínimo. Ou seja, preciso verificar quais dessas afirmativas são verdadeiras ou falsas, usando a expressão fornecida. Informação dada explicitamente: a fórmula da função é
.
Passo 2
Encontrar as raízes da parábola (onde
) — isso ajuda a entender onde a função é positiva ou negativa.
Fatorando o polinômio:
Portanto as raízes são
e
, porque
dá
ou
.
Explicação didática curta: fatorar um quadrático consiste em achar dois números cujo produto seja o termo constante (
) e cuja soma seja o coeficiente de
(
). Aqui esses números são
e
, o que gera
.
Passo 3
Analisar o sinal da função usando as raízes e o coeficiente líder (coeficiente de
).
- O coeficiente de
é , positivo, então a parábola abre para cima. Isso implica que a função será negativa entre as raízes e positiva fora delas. - Como as raízes são
e , temos: -
para , -
para e , -
para ou .
-
Consequências imediatas para algumas alternativas:
- A alternativa (a) afirma que "seus valores são negativos para qualquer valor de
". Isso é falso, porque por exemplo para temos . - A alternativa (c) afirma que "tem somente valores positivos para
". Isso é falso, porque para (que é ) .
Passo 4
Determinar onde a função é crescente ou decrescente — usamos derivada (ou raciocínio sobre vértice) para isso.
Calcule a derivada de
: a regra básica é derivar termo a termo (regra do poder:
).
Interpretação didática:
dá a inclinação (sinal do coeficiente angular da reta tangente). Se
a função está subindo (crescente) naquele ponto; se
está descendo (decrescente).
Ache onde a derivada muda de sinal:
- Para
temos então : função decrescente para . - Para
temos então : função crescente para .
Isto responde sobre a alternativa (b): "é crescente para
". Com base na derivada, isso é verdadeiro.
Passo 5
Verificar a alternativa (d): "é decrescente para
".
Pelo passo anterior, a função é decrescente apenas quando
. O intervalo
atravessa
; para
ela já é crescente. Portanto a afirmação (d) é falsa. Um contraexemplo simples: em
(que está em
) temos
, logo a função está crescendo em
, contradizendo (d).
Passo 6
Determinar o ponto onde ocorre o menor valor (vértice), para checar a alternativa (e).
Método 1 (derivada): como
, o único ponto crítico é
. Como a parábola abre para cima, esse ponto é mínimo.
Método 2 (completar o quadrado) — isso também dá o vértice explicitamente:
Da forma
fica claro que o mínimo acontece em
e o valor mínimo é
. Assim
. Em particular, a alternativa (e) que afirma que "seu menor valor ocorre quando
" é falsa (em
o valor é
, maior que
).
Passo 7
Resumo rápido das verificações:
- (a) falso (há
com , por exemplo ). - (b) verdadeiro (derivada mostra
para ). - (c) falso (por exemplo
tem ). - (d) falso (função não é decrescente em todo
; em é crescente). - (e) falso (mínimo em
, não em ).
Resposta
b)