Suponha que, em certa empresa de produtos eletrônicos, a organização da produção seja tal que o custo total C para produzir uma quantidade
de determinado produto seja apresentado pela função
(C em reais, q em unidades do produto). O valor do custo mínimo dessa produção é de:
a)
5.000,00$
b)
5.500,00$
c)
55.000,00$
d)
550.000,00$
e) R$ 555.000,00
a)
b)
c)
d)
e) R$ 555.000,00
Passo 1
O enunciado dá a função custo total em reais em função da quantidade produzida
(unidades):
Pede-se o valor do custo mínimo dessa produção (qual é o menor valor de
). As alternativas são:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Entendendo a forma da função:
é um polinômio quadrático da forma padrão
onde, neste caso,
,
e
. Uma parábola com
é voltada para cima e tem um único ponto mínimo — o vértice. Para encontrar o custo mínimo podemos completar o quadrado (método algébrico elementar, sem cálculo) ou usar a fórmula do vértice. Vou usar completar o quadrado porque é um método básico e direto que não exige derivadas.
Passo 3
Completar o quadrado passo a passo. Começo isolando os termos quadráticos e lineares:
Escrevo os dois primeiros termos como um quadrado perfeito menos um ajuste. Lembrando que
então quero encontrar
tal que
. Assim
Agora reescrevo
usando
:
Como
, substituo na expressão de
:
Faço a soma dos termos constantes:
Portanto
Passo 4
Interpretação do resultado. A expressão
é sempre maior ou igual a zero para todo
. O menor valor que
pode assumir é
, que ocorre quando
. Então o custo mínimo é o termo constante remanescente:
Em notação de moeda isso é
. A alternativa correspondente é a letra d).
Passo 5
Resumo prático para a prova: ao ter um custo quadrático
com
, completar o quadrado é uma maneira rápida de achar o mínimo — reescrever como
. Aqui deu
, logo mínimo
em
. Vai dar tudo certo — respira, foca nos passos e confia no método!
Resposta
d)