Suponha que, em certa empresa de produtos eletrônicos, a organização da produção seja tal que o custo total C para produzir uma quantidade q de determinado produto seja apresentado pela função C(q)=q^{2}-1000 q+800000 (C em reais, q em unidades do produto). O valor do custo mínimo dessa produção é de:
a) R \ 5.000,00$
b) \mathrm{R} \ 5.500,00$
c) \mathrm{R} \ 55.000,00$
d) \mathrm{R} \ 550.000,00$
e) R$ 555.000,00

Passo 1

O enunciado dá a função custo total em reais em função da quantidade produzida q (unidades):
C(q)=q^{2}-1000\,q+800000.
Pede-se o valor do custo mínimo dessa produção (qual é o menor valor de C(q)). As alternativas são:
a) \text{R\$ }5{,}000{,}00
b) \text{R\$ }5{,}500{,}00
c) \text{R\$ }55{,}000{,}00
d) \text{R\$ }550{,}000{,}00
e) \text{R\$ }555{,}000{,}00

Passo 2

Entendendo a forma da função: C(q) é um polinômio quadrático da forma padrão
C(q)=a q^{2}+b q+c,
onde, neste caso, a=1, b=-1000 e c=800000. Uma parábola com a>0 é voltada para cima e tem um único ponto mínimo — o vértice. Para encontrar o custo mínimo podemos completar o quadrado (método algébrico elementar, sem cálculo) ou usar a fórmula do vértice. Vou usar completar o quadrado porque é um método básico e direto que não exige derivadas.

Passo 3

Completar o quadrado passo a passo. Começo isolando os termos quadráticos e lineares:
C(q)=q^{2}-1000\,q+800000.
Escrevo os dois primeiros termos como um quadrado perfeito menos um ajuste. Lembrando que
(q - h)^{2} = q^{2} - 2hq + h^{2},
então quero encontrar h tal que -2h = -1000. Assim
-2h = -1000 \quad\Rightarrow\quad h = 500.
Agora reescrevo q^{2}-1000q usando (q-500)^{2}:
q^{2}-1000q = (q-500)^{2} - 500^{2}.
Como 500^{2}=250000, substituo na expressão de C(q):
C(q) = (q-500)^{2} - 250000 + 800000.
Faço a soma dos termos constantes:
-250000 + 800000 = 550000.
Portanto
C(q) = (q-500)^{2} + 550000.

Passo 4

Interpretação do resultado. A expressão (q-500)^{2} é sempre maior ou igual a zero para todo q. O menor valor que (q-500)^{2} pode assumir é 0, que ocorre quando q=500. Então o custo mínimo é o termo constante remanescente:
C_{\min} = 550000.
Em notação de moeda isso é \text{R\$ }550{,}000{,}00. A alternativa correspondente é a letra d).

Passo 5

Resumo prático para a prova: ao ter um custo quadrático C(q)=a q^{2}+b q+c com a>0, completar o quadrado é uma maneira rápida de achar o mínimo — reescrever como C(q)=a\big(q+\tfrac{b}{2a}\big)^{2} + (\text{constante}). Aqui deu C(q)=(q-500)^{2}+550000, logo mínimo 550000 em q=500. Vai dar tudo certo — respira, foca nos passos e confia no método!

Resposta

d) \text{R\$ }550{,}000{,}00

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