Sobre a função f(x)=|x-2|, responda:
(a) (1,0 ponto) É contínua em a=2 ? Justifiquel
(b) (1,0 ponto) É derivável em a=2 ? Justifique!
Dica: Note que f é uma função com mais de uma lei de formaçāo.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=|x-2| e pede duas coisas:
  • (a) verificar se f é contínua em a=2 e justificar;
  • (b) verificar se f é derivável em a=2 e justificar.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita é f(x)=|x-2|.
  • A dica indica que f tem mais de uma “lei de formação” (ou seja, é uma função definida por partes, dependendo se x está à esquerda ou à direita de 2).

Passo 2

Escrever f\) de forma explícita como função por partes (isso facilita limites e derivadas): \[f(x)=|x-2|=\begin{cases} 2-x, & x<2,\\[4pt] 0, & x=2,\\[4pt] x-2, & x>2. \end{cases}
Comentário rápido: para x<2\] temos \(|x-2|=-(x-2)=2-x; para x>2 temos |x-2|=x-2; em x=2 o valor é 0.]

Passo 3

Definição e plano para a continuidade em a=2.
  • Definição: f é contínua em a se e somente se \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
  • Para verificar a continuidade em a=2 vou calcular os limites laterais \lim_{x\to2^-}f(x) e \lim_{x\to2^+}f(x) e comparar com f(2).

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda \lim_{x\to2^-}f(x).
Usando a expressão por partes para x<2: f(x)=2-x. Então
\lim_{x\to2^-} f(x) = \lim_{x\to2^-} (2-x).
Como 2-x é uma função contínua (polinomial) em torno de x=2, basta avaliar em x=2:
\lim_{x\to2^-} (2-x)=2-2=0.

Passo 5

Calcular o limite pela direita \lim_{x\to2^+}f(x).
Usando a expressão por partes para x>2: f(x)=x-2. Então
\lim_{x\to2^+} f(x) = \lim_{x\to2^+} (x-2).
Como x-2 é contínua em torno de 2, basta avaliar em x=2:
\lim_{x\to2^+} (x-2)=2-2=0.

Passo 6

Comparar limites e valor da função em 2.
  • Encontramos \lim_{x\to2^-} f(x)=0 e \lim_{x\to2^+} f(x)=0. Como os dois limites laterais são iguais, \lim_{x\to2} f(x)=0.
  • O valor da função em 2 é f(2)=0 (pela definição por partes).
    Conclusão: \lim_{x\to2} f(x)=f(2), portanto f é contínua em 2.

Passo 7

Definição e plano para a derivabilidade em a=2.
  • Definição: f é derivável em a se existir o limite
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
  • Uma maneira prática é calcular as derivadas laterais (coeficientes angulares das secantes) e ver se coincidem:
f'_-(2)=\lim_{x\to2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2},\qquad f'_+(2)=\lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}.
Se f'_-(2)=f'_+(2) existe a derivada; se forem diferentes, f'(2) não existe.

Passo 8

Calcular a derivada pela direita f'_+(2).
Para x>2 temos f(x)=x-2 e f(2)=0. Assim, para x\to2^+ (com x\neq2),
\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{(x-2)-0}{x-2}=1.
Portanto
f'_+(2)=\lim_{x\to2^+}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=1.

Passo 9

Calcular a derivada pela esquerda f'_-(2).
Para x<2 temos f(x)=2-x e f(2)=0. Então, para x\to2^- (com x\neq2),
\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\frac{(2-x)-0}{x-2}=\frac{-(x-2)}{x-2}=-1.
Portanto
f'_-(2)=\lim_{x\to2^-}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=-1.

Passo 10

Conclusão sobre derivabilidade e interpretação geométrica.
  • Como f'_-(2)=-1 e f'_+(2)=1, os limites laterais não coincidem, logo o limite \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} não existe.
  • Portanto f não é derivável em 2.
  • Intuição geométrica: o gráfico de f(x)=|x-2| tem um “vértice” ou “canto” em x=2 (uma mudança brusca de inclinação), sendo a tangente à esquerda de inclinação -1 e à direita de inclinação 1; essa quebra de inclinação impede a existência de uma única reta tangente ali.

Passo 11

Observação adicional curta (checagem de coerência): derivabilidade implica continuidade. Como aqui f é contínua em 2 mas não derivável, isso é compatível com a teoria (continuidade é necessária, mas não suficiente, para derivabilidade).

Resposta

(a) Sim.
(b) Não.

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