Sobre a função
, responda:
(a) (1,0 ponto) É contínua em
? Justifiquel
(b) (1,0 ponto) É derivável em
? Justifique!
Dica: Note que
é uma função com mais de uma lei de formaçāo.
(b) (1,0 ponto) É derivável em
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas:
- (a) verificar se
é contínua em e justificar; - (b) verificar se
é derivável em e justificar.
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita é
. - A dica indica que
tem mais de uma “lei de formação” (ou seja, é uma função definida por partes, dependendo se está à esquerda ou à direita de ).
Passo 2
Escrever
Comentário rápido: para
; para
temos
; em
o valor é
.]
Passo 3
Definição e plano para a continuidade em
.
- Definição:
é contínua em se e somente se . - Para verificar a continuidade em
vou calcular os limites laterais e e comparar com .
Passo 4
Calcular o limite pela esquerda
.
Usando a expressão por partes para :
. Então
Usando a expressão por partes para
Como
é uma função contínua (polinomial) em torno de
, basta avaliar em
:
Passo 5
Calcular o limite pela direita
.
Usando a expressão por partes para :
. Então
Usando a expressão por partes para
Como
é contínua em torno de
, basta avaliar em
:
Passo 6
Comparar limites e valor da função em
.
- Encontramos
e . Como os dois limites laterais são iguais, . - O valor da função em
é (pela definição por partes).
Conclusão:, portanto é contínua em .
Passo 7
Definição e plano para a derivabilidade em
.
- Definição:
é derivável em se existir o limite
- Uma maneira prática é calcular as derivadas laterais (coeficientes angulares das secantes) e ver se coincidem:
Se
existe a derivada; se forem diferentes,
não existe.
Passo 8
Calcular a derivada pela direita
.
Para temos
e
. Assim, para
(com
),
Para
Portanto
Passo 9
Calcular a derivada pela esquerda
.
Para temos
e
. Então, para
(com
),
Para
Portanto
Passo 10
Conclusão sobre derivabilidade e interpretação geométrica.
- Como
e , os limites laterais não coincidem, logo o limite não existe. - Portanto
não é derivável em . - Intuição geométrica: o gráfico de
tem um “vértice” ou “canto” em (uma mudança brusca de inclinação), sendo a tangente à esquerda de inclinação e à direita de inclinação ; essa quebra de inclinação impede a existência de uma única reta tangente ali.
Passo 11
Observação adicional curta (checagem de coerência): derivabilidade implica continuidade. Como aqui
é contínua em
mas não derivável, isso é compatível com a teoria (continuidade é necessária, mas não suficiente, para derivabilidade).
Resposta
(a) Sim.
(b) Não.
(b) Não.