Sobre a função f(x)=x sen x, responda o que se pede:
(a) (1,0 ponto) Encontre a área da região formada pelo gráfico de f, as retas x=0, x=pi2 e o eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função $ f(x) = x \sin x $ e precisa encontrar a área da região formada pelo gráfico dessa função, pelas retas $ x = 0 $, $ x = \frac{\pi}{2} $ e pelo eixo $ x $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a integração definida, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa área. Imagine o gráfico da função $ f(x) = x \sin x $ entre $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $. A área que queremos é a região entre essa curva, o eixo $ x $ e as duas linhas verticais em $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $.

Passo 3

Para calcular essa área, usamos a integral definida. A integral de uma função entre dois pontos nos dá a área sob o gráfico dessa função nesse intervalo. A fórmula geral é:
Área = integrala^b f(x) , dx Á
Aqui, $ a = 0 $ e $ b = \frac{\pi}{2} $, e $ f(x) = x \sin x $.

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para o nosso caso:
Área = integral0^pi2 x sin x , dx Á
Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como $ x $ e $ \sin x $.

Passo 5

A integração por partes segue a fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • $ u = x $ (então, $ du = dx $)
  • $ dv = \sin x , dx $ (então, $ v = -\cos x $)

Passo 6

Aplicando a fórmula:
integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx
Agora, vamos integrar $ \cos x $:
cos x
Então, substituindo de volta:
integral cos x , dx = sin x
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para a área.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral definida de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $:
0 Á
Primeiro, avaliamos em $ x = \frac{\pi}{2} $:
pi2
Depois, avaliamos em $ x = 0 $:
Área = [ -x cos x + sin x ]0^pi2

Passo 8

Subtraindo os dois resultados:
Área = 1 - 0 = 1 Á

Resposta

A área da região é igual a $ 1 $ unidade quadrada.

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