Sobre a função
, responda o que se pede:
(a) (1,0 ponto) Encontre a área da região formada pelo gráfico de
, as retas
e o eixo
.
(a) (1,0 ponto) Encontre a área da região formada pelo gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a função $ f(x) = x \sin x $ e precisa encontrar a área da região formada pelo gráfico dessa função, pelas retas $ x = 0 $, $ x = \frac{\pi}{2} $ e pelo eixo $ x $. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a integração definida, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa área. Imagine o gráfico da função $ f(x) = x \sin x $ entre $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $. A área que queremos é a região entre essa curva, o eixo $ x $ e as duas linhas verticais em $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $.
Passo 3
Para calcular essa área, usamos a integral definida. A integral de uma função entre dois pontos nos dá a área sob o gráfico dessa função nesse intervalo. A fórmula geral é:
Aqui, $ a = 0 $ e $ b = \frac{\pi}{2} $, e $ f(x) = x \sin x $.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para o nosso caso:
Para resolver essa integral, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como $ x $ e $ \sin x $.
Passo 5
A integração por partes segue a fórmula:
Vamos escolher:
- $ u = x $ (então, $ du = dx $)
- $ dv = \sin x , dx $ (então, $ v = -\cos x $)
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Agora, vamos integrar $ \cos x $:
Então, substituindo de volta:
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar para a área.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral definida de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $:
Primeiro, avaliamos em $ x = \frac{\pi}{2} $:
Depois, avaliamos em $ x = 0 $:
Passo 8
Subtraindo os dois resultados:
Resposta
A área da região é igual a $ 1 $ unidade quadrada.