Sobre os limites: I. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x}-1\right)}{x} \quad e II. \lim _{x \rightarrow-2} \frac{(x+2)}{|x+2|}, assinale a alternativa correta.
(A) I e II têm o mesmo resultado.
(B) I é igual a 1 e II não existe.
(C) I é \infty e ll não existe.
(D) I e ll não existem.
(E) I não existe e II é igual a 1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Tem dois limites para avaliar:
    1. \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-1}{x}.
    2. \displaystyle \lim_{x\to -2} \frac{x+2}{|x+2|}.
  • A pergunta do enunciado: entre as alternativas (A)–(E), assinalar a correta sobre os resultados desses dois limites (se existem e quais são).

Passo 2

Entender o que significa calcular um limite: dizer que \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=L significa que, quando x se aproxima de a por qualquer lado, os valores de f(x) se aproximam de L. Se as aproximações pelas duas direções (esquerda e direita) levarem a valores distintos, o limite não existe.
Vou aplicar isso aos dois limites, começando pelo primeiro.

Passo 3

Analisar o limite I: \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-1}{x}.
Primeira maneira (expansão em série/Taylor, forma intuitiva): lembrar que a função exponencial tem expansão conhecida em torno de 0:
e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots.
Isto significa que, para x muito pequeno,
e^{x}-1 = x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \cdots.
Dividindo por x obtemos
\frac{e^{x}-1}{x} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{6} + \cdots.
Quando x\to 0, todos os termos com x vão para 0, então a soma tende a 1. Logo
\lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-1}{x} = 1.

Passo 4

Explicar de outra forma (ligação com derivada), para reforçar o entendimento: a derivada de e^{x} no ponto 0 é definida por
(e^{x})'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{e^{0+h}-e^{0}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}.
Sabe-se que a derivada de e^{x} é e^{x} em qualquer ponto, então em 0 vale e^{0}=1. Portanto esse limite também é 1. As duas abordagens dão o mesmo resultado consistente.

Passo 5

Concluir o resultado do limite I:
\boxed{\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-1}{x} = 1.}

Passo 6

Analisar o limite II: \displaystyle \lim_{x\to -2} \frac{x+2}{|x+2|}.
Aqui a ideia prática é notar que a expressão depende apenas de y:=x+2. Substituindo y=x+2, quando x\to -2 temos y\to 0. O limite fica
\lim_{y\to 0} \frac{y}{|y|}.
Agora usar a definição do valor absoluto:
  • Se y>0, então |y|=y e \dfrac{y}{|y|}=\dfrac{y}{y}=1.
  • Se y<0, então |y|=-y e \dfrac{y}{|y|}=\dfrac{y}{-y}=-1.
Portanto os limites laterais são:
\lim_{y\to 0^{+}}\frac{y}{|y|}=1, \qquad \lim_{y\to 0^{-}}\frac{y}{|y|}=-1.

Passo 7

Concluir sobre o limite II: como o limite pela direita é 1 e o limite pela esquerda é -1, eles são diferentes. Logo o limite total quando y\to 0 (ou seja, quando x\to -2) não existe.
Em notação:
\boxed{\text{O limite } \displaystyle \lim_{x\to -2} \frac{x+2}{|x+2|} \text{ não existe.}}ã

Passo 8

Comparando os resultados:
  • I é igual a 1.
  • II não existe.
A alternativa que descreve isso é a alternativa (B).

Resposta

(B) I é igual a 1 e II não existe.

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