Sobre os limites: I.
e II.
, assinale a alternativa correta.
(A) I e II têm o mesmo resultado.
(B) I é igual a 1 e II não existe.
(C) I é
e ll não existe.
(D) I e ll não existem.
(E) I não existe e II é igual a 1.
(A) I e II têm o mesmo resultado.
(B) I é igual a 1 e II não existe.
(C) I é
(D) I e ll não existem.
(E) I não existe e II é igual a 1.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
-
Tem dois limites para avaliar:
-
. -
.
-
-
A pergunta do enunciado: entre as alternativas (A)–(E), assinalar a correta sobre os resultados desses dois limites (se existem e quais são).
Passo 2
Entender o que significa calcular um limite: dizer que
significa que, quando
se aproxima de
por qualquer lado, os valores de
se aproximam de
. Se as aproximações pelas duas direções (esquerda e direita) levarem a valores distintos, o limite não existe.
Vou aplicar isso aos dois limites, começando pelo primeiro.
Passo 3
Analisar o limite I:
.
Primeira maneira (expansão em série/Taylor, forma intuitiva): lembrar que a função exponencial tem expansão conhecida em torno de
:
Isto significa que, para
muito pequeno,
Dividindo por
obtemos
Quando
, todos os termos com
vão para
, então a soma tende a
. Logo
Passo 4
Explicar de outra forma (ligação com derivada), para reforçar o entendimento: a derivada de
no ponto
é definida por
Sabe-se que a derivada de
é
em qualquer ponto, então em
vale
. Portanto esse limite também é
. As duas abordagens dão o mesmo resultado consistente.
Passo 5
Concluir o resultado do limite I:
Passo 6
Analisar o limite II:
.
Aqui a ideia prática é notar que a expressão depende apenas de
. Substituindo
, quando
temos
. O limite fica
Agora usar a definição do valor absoluto:
- Se
, então e . - Se
, então e .
Portanto os limites laterais são:
Passo 7
Concluir sobre o limite II: como o limite pela direita é
e o limite pela esquerda é
, eles são diferentes. Logo o limite total quando
(ou seja, quando
) não existe.
Em notação:
Passo 8
Comparando os resultados:
- I é igual a
. - II não existe.
A alternativa que descreve isso é a alternativa (B).
Resposta
(B) I é igual a 1 e II não existe.