Considere a função f definida no intervalo por \quad[-2,2] por f(x)=x^{\frac{2}{3}} \quad \mathbf{e} assinale a alternativa correta.
(A) Existe apenas um número c no intervalo ]-2,2[ que satisfaz o Teorema do Valor Médio.
(B) Existem dois valores de c no intervalo ]-2,2[ que satisfazem o Teorema do Valor Médio.
(C) Não existe um número c no intervalo ]-2,2[ que satisfaz o Teorema do Valor Médio, pois f não é diferenciável em ]-2,2[.
(D) Não existe um número c no intervalo ]-2,2[ que satisfaz o Teorema do Valor Médio, pois f não é polinomial.
(E) Não existe um número c no intervalo ]-2,2[ que satisfaz o Teorema do Valor Médio, pois f não é contínua em ] -2,2[.

Passo 1

O enunciado dá a função definida em [-2,2] por f(x)=x^{\frac{2}{3}} e pede que se assinale a alternativa correta entre (A)–(E) sobre a existência (e quantidade) de um número c\in\,]-2,2[ que satisfaça o Teorema do Valor Médio.
Informações fornecidas:
  • Domínio considerado: [-2,2].
  • Função: f(x)=x^{\frac{2}{3}}.
  • As alternativas falam sobre a existência de c tal que se verifique a conclusão do Teorema do Valor Médio (TVM) e dão várias justificativas possíveis.

Passo 2

Vou lembrar com clareza o que o Teorema do Valor Médio (TVM) exige e o que ele garante.
Enunciado do TVM (forma que usaremos): se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Observações didáticas:
  • "Contínua em [a,b]" significa que f não tem saltos ou buracos em nenhum ponto do fechado [a,b].
  • "Diferenciável em (a,b)" significa que a derivada f'(x) existe (é finita) para todo x estritamente entre a e b.
  • O TVM dá existência de pelo menos um c quando as hipóteses são satisfeitas. Se as hipóteses não são satisfeitas, o TVM não pode ser aplicado; pode existir ou não um c — isso precisa ser verificado caso a caso.

Passo 3

Verifico a continuidade de f em [-2,2].
A função f(x)=x^{\frac{2}{3}} pode ser escrita como f(x)=(x^2)^{1/3}. A função x\mapsto x^2 é contínua em \mathbb{R} e t\mapsto t^{1/3} é contínua em \mathbb{R}; composição de contínuas é contínua. Assim f é contínua em todo \mathbb{R}, em particular em [-2,2].
Também calculo os valores nas extremidades para usar depois:
f(2)=2^{\frac{2}{3}},\qquad f(-2)=(-2)^{\frac{2}{3}}=(( -2)^2)^{1/3}=4^{1/3}=2^{\frac{2}{3}}.
Portanto f(2)=f(-2) e o quociente da diferença de valores é
\frac{f(2)-f(-2)}{2-(-2)}=\frac{0}{4}=0.
Logo, se existisse c do TVM ele deveria satisfazer f'\text{(c)}=0.

Passo 4

Calculo a derivada para x\neq0. Usando a regra da potência (para expoentes racionais), para x\neq0 vale
f'(x)=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}.
Explicando a regra da potência de forma simples: se f(x)=x^p com p fixo, então f'(x)=p x^{p-1} sempre que isso fizer sentido; aqui p=\tfrac{2}{3} p-1=-\tfrac{1}{3}. Note que essa expressão só faz sentido (finita) para x\neq0 — em x muito próximo de zero o valor de x^{-1/3} fica muito grande em módulo.

Passo 5

Investigo a derivabilidade em x=0 (ponto interno de (-2,2)). Para testar se f'(0) existe uso a definição da derivada:
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|^{\frac{2}{3}}}{h}.
Aqui observei que f(h)=h^{2/3}=|h|^{2/3}. Simplifico a razão:
\frac{|h|^{\frac{2}{3}}}{h}=\frac{|h|^{\frac{2}{3}}}{h} = \frac{( |h|^{1/3})^2}{h} = |h|^{-\frac{1}{3}}\cdot\frac{|h|}{h}.
Mas é mais direto olhar para os sinais: para h>0,
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^{2/3}}{h}=h^{-1/3}\xrightarrow[h\to0^+]{}+\infty,
enquanto para h<0,
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{(|h|)^{2/3}}{h}=\frac{(|h|)^{2/3}}{-|h|}=-|h|^{-1/3}\xrightarrow[h\to0^-]{}-\infty.
Como as duas limites laterais não coincidem (um vai para +\infty e o outro para -\infty), o limite não existe (nem como número finito nem como infinito coerente). Portanto f'(0) não existe. Conclusão: f não é diferenciável em x=0.

Passo 6

Reunindo: f é contínua em [-2,2] mas NÃO é diferenciável em ( -2,2) em todos os pontos, porque falha em x=0. Assim a hipótese "diferenciável em ( -2,2)" do TVM não é satisfeita, logo não se pode garantir a existência de um c pelo TVM. Mas precisamos verificar se, neste caso específico, existe algum c\in(-2,2) (talvez em x\neq0) que satisfaça a igualdade exigida pelo TVM, ou seja f'\text{(c)}=0.
Para x\neq0 temos f'(x)=\dfrac{2}{3}x^{-1/3}. Essa expressão é diferente de zero para todo x\neq0 (porque x^{-1/3} é finito e não nulo quando x\neq0). Em x=0 a derivada não existe, então também não pode ser usada para igualar a zero. Portanto não existe c\in(-2,2) com f'\text{(c)}=0.
Portanto, de fato, não existe ponto c\in\,]-2,2[ que satisfaça a conclusão do Teorema do Valor Médio para este par de pontos a=-2, b=2. A razão é que a função não é diferenciável em todo o intervalo aberto (-2,2) (falha em 0); além disso, a única candidata para f'\text{(c)}=0 seria c=0, mas aí f'(0) não existe.

Passo 7

Interpretação das alternativas: (C) afirma que não existe c\in]-2,2[ que satisfaça o TVM porque f não é diferenciável em ]-2,2[. Essa alternativa está coerente com a análise: realmente não existe c e a justificativa correta é a falha da diferenciabilidade em 0. As alternativas (D) e (E) dão razões falsas (não ser polinomial ou não ser contínua), e (A)/(B) afirmam existência de um ou dois pontos, o que é falso. Portanto a alternativa correta é (C).

Resposta

(C)

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