O valor de \boldsymbol{\alpha} para que a função f definida por f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\operatorname{sen} x}{x} \quad, & \text { se } x \neq 0 \\\ a & , \text { se } x=0\end{array}\right. seja contínua é
(A) 1 .
(B) 0 .
(C) um número real pertencente ao intervalo ]-1,1[.
(D) -1 .
(E) qualquer número real positivo.
e pede o valor de \alpha (o mesmo que o valor de a) para que f seja contínua.
Informações relevantes:
Para x\neq 0, f(x)=\dfrac{\sin x}{x}.
Em x=0, f(0)=a (um número real desconhecido).
O que se deve achar: o valor de a que torna f contínua em x=0.]
Passo 2
O que significa “f ser contínua em x=0”?
Explicação clara: uma função f é contínua em x=0 se o limite de f(x) quando x tende a 0 existir e for igual ao valor da função em 0. Em símbolos:
f \text{ contínua em }0\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to 0} f(x)=f(0).í
No nosso caso isso dá a condição
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=a.
Portanto, precisamos calcular \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} e igualar a a.
Passo 3
Vamos calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}. Vou usar o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem). Enunciado do teorema, em palavras simples:
se, para x perto de 0, tivermos
g(x)\le f(x)\le h(x)
e se \lim_{x\to0}g(x)=\lim_{x\to0}h(x)=L, então \lim_{x\to0}f(x)=L.
Vou encontrar duas funções que “apertem” \dfrac{\sin x}{x} por cima e por baixo, com o mesmo limite em 0.
Passo 4
Para x>0 pequeno (por exemplo 0<x<\tfrac{\pi}{2}) há uma desigualdade trigonométrica clássica:
\sin x < x < \tan x.
Explico rapidamente como usar isso para obter uma faixa para \dfrac{\sin x}{x}. Dividindo as partes adequadas por x>0 e reescrevendo \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, obtemos:
de \sin x < x vem \dfrac{\sin x}{x} < 1;
de x < \dfrac{\sin x}{\cos x} vem x\cos x < \sin x, isto é \cos x < \dfrac{\sin x}{x}.
Portanto, para 0<x<\tfrac{\pi}{2},
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Passo 5
Agora aplico o Teorema do Confronto. Quando x\to 0^+, sabemos que \cos x \to \cos 0=1 e a constante 1 tem limite 1, então pelo confronto:
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1.
Para o lado esquerdo (x\to 0^-) uso que \dfrac{\sin x}{x} é uma função par: para x<0, escrevendo t=-x>0,
Logo o limite pela esquerda é igual ao limite pela direita, ou seja
\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}=1.
Portanto o limite bilateral existe e
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Passo 6
Voltando à condição de continuidade: precisamos de \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=a. Como esse limite vale 1, segue que o valor de a que torna f contínua em 0 é 1.