27.6 Um elétron se move com velocidade igual a
em uma regiāo onde existe um campo magnético com uma direção especificada e com módulo igual a
. (a) Quais devem ser o maior e o menor módulo da aceleração de um elétron provocada por esse campo magnético? (b) Se a aceleração real do elétron for igual a um quarto do maior módulo encontrado no item (a), qual será o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
- Dados fornecidos:
Trata-se de um elétron, então usarei os valores padrão:
- Perguntas:
(a) Quais são o maior e o menor módulo da aceleração do elétron causada por esse campo magnético?
(b) Se a aceleração real do elétron for igual a um quarto do maior módulo do item (a), qual será o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético?
Passo 2
Conceito-chave (sem pânico — é só a fórmula): a força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela regra do produto vetorial. O módulo dessa força é
onde:
-
é o módulo da força magnética, -
é o valor absoluto da carga (usamos para o elétron), -
é o módulo da velocidade da carga, -
é o módulo do campo magnético, -
é o ângulo entre os vetores e , -
vem do produto vetorial (quando vetores são paralelos , quando são perpendiculares ).
Explicação intuitiva: o campo magnético só “puxa” a partícula perpendicularmente à direção do movimento; se a velocidade for paralela ao campo, não há força magnética.
Passo 3
Relacionando força e aceleração: pela segunda lei de Newton,
logo o módulo da aceleração provocado pelo campo magnético é
Aqui
é a aceleração em função do ângulo
. Explico as variáveis novamente para você poder usar na prova:
é a massa da partícula (aqui
), e o resto já foi definido.
Passo 4
Resposta conceitual do item (a): para encontrar o maior e o menor módulo de
basta ver os valores possíveis de
:
-
varia entre e . - Portanto o menor valor de
ocorre quando (velocidade paralela ou antiparalela ao campo) e o maior quando (velocidade perpendicular ao campo).
Logo,
e
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente
. Primeiro calculo intermediário
:
Em seguida o numerador
:
Finalmente dividimos pela massa do elétron:
Fazendo a divisão obtemos
(Arredondei aqui para três algarismos significativos, o que é suficiente para provas.)
Passo 6
Concluindo o item (a):
Interpretação breve: se a velocidade for paralela ao campo não há aceleração magnética; se for perpendicular a aceleração atinge esse valor enorme (elétrons são muito leves, então acelerações grandes aparecem).
Passo 7
Agora o item (b). O enunciado diz que a aceleração real
vale um quarto do maior módulo:
Como de (3) temos
(porque
é o caso com
), segue
Portanto o ângulo procurado é
Calculando em graus:
Observação didática:
positivo tem também a solução suplementar
, mas por convenção quando se pergunta o ângulo entre dois vetores normalmente tomamos o menor ângulo entre eles, isto é
.