27.6 Um elétron se move com velocidade igual a 2,50 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} em uma regiāo onde existe um campo magnético com uma direção especificada e com módulo igual a 7,40 \times 10^{-2} \mathrm{~T}. (a) Quais devem ser o maior e o menor módulo da aceleração de um elétron provocada por esse campo magnético? (b) Se a aceleração real do elétron for igual a um quarto do maior módulo encontrado no item (a), qual será o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados fornecidos: v = 2{,}50\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}
B = 7{,}40\times10^{-2}\\ \mathrm{T}
Trata-se de um elétron, então usarei os valores padrão:
|q| = e = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}
m = m_e = 9{,}109\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}
  • Perguntas:
    (a) Quais são o maior e o menor módulo da aceleração do elétron causada por esse campo magnético?
    (b) Se a aceleração real do elétron for igual a um quarto do maior módulo do item (a), qual será o ângulo entre a velocidade do elétron e o campo magnético?

Passo 2

Conceito-chave (sem pânico — é só a fórmula): a força magnética sobre uma carga em movimento é dada pela regra do produto vetorial. O módulo dessa força é
F = |q|\,v\,B\,\sin\theta,
onde:
  • F é o módulo da força magnética,
  • |q| é o valor absoluto da carga (usamos |q|=e para o elétron),
  • v é o módulo da velocidade da carga,
  • B é o módulo do campo magnético,
  • \theta é o ângulo entre os vetores \vec{v} e \vec{B},
  • \sin\theta vem do produto vetorial (quando vetores são paralelos \sin\theta=0, quando são perpendiculares \sin\theta=1).
Explicação intuitiva: o campo magnético só “puxa” a partícula perpendicularmente à direção do movimento; se a velocidade for paralela ao campo, não há força magnética.

Passo 3

Relacionando força e aceleração: pela segunda lei de Newton,
a = \frac{F}{m},
logo o módulo da aceleração provocado pelo campo magnético é
a(\theta) = \frac{|q|\,v\,B\,\sin\theta}{m}.
Aqui a(\theta) é a aceleração em função do ângulo \theta. Explico as variáveis novamente para você poder usar na prova: m é a massa da partícula (aqui m_e), e o resto já foi definido.

Passo 4

Resposta conceitual do item (a): para encontrar o maior e o menor módulo de a(\theta) basta ver os valores possíveis de \sin\theta:
  • \sin\theta varia entre 0 e 1.
  • Portanto o menor valor de a ocorre quando \sin\theta=0 (velocidade paralela ou antiparalela ao campo) e o maior quando \sin\theta=1 (velocidade perpendicular ao campo).
Logo,
a_{\min} = 0
e
a_{\max} = \frac{|q|\,v\,B}{m}.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente a_{\max}. Primeiro calculo intermediário vB:
vB = (2{,}50\times10^{6})(7{,}40\times10^{-2})=1{,}85\times10^{5}.
Em seguida o numerador |q|vB:
|q|vB = (1{,}602\times10^{-19})(1{,}85\times10^{5})=2{,}9637\times10^{-14}.
Finalmente dividimos pela massa do elétron:
a_{\max}=\frac{2{,}9637\times10^{-14}}{9{,}109\times10^{-31}}.
Fazendo a divisão obtemos
a_{\max}\approx3{,}25\times10^{16}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Arredondei aqui para três algarismos significativos, o que é suficiente para provas.)

Passo 6

Concluindo o item (a):
a_{\min}=0\\ \mathrm{m/s^{2}}
a_{\max}\approx3{,}25\times10^{16}\\ \mathrm{m/s^{2}}
Interpretação breve: se a velocidade for paralela ao campo não há aceleração magnética; se for perpendicular a aceleração atinge esse valor enorme (elétrons são muito leves, então acelerações grandes aparecem).

Passo 7

Agora o item (b). O enunciado diz que a aceleração real a vale um quarto do maior módulo:
a=\frac{1}{4}a_{\max}.
Como de (3) temos a = a_{\max}\sin\theta (porque a_{\max} é o caso com \sin\theta=1), segue
\sin\theta = \frac{a}{a_{\max}} = \frac{1}{4}.
Portanto o ângulo procurado é
\theta = \arcsin\!\left(\frac{1}{4}\right).
Calculando em graus:
\theta \approx 14{,}48^\circ.
Observação didática: \sin\theta positivo tem também a solução suplementar 180^\circ-14{,}48^\circ, mas por convenção quando se pergunta o ângulo entre dois vetores normalmente tomamos o menor ângulo entre eles, isto é \theta\approx14{,}48^\circ.

Resposta

a_{\max}\approx3{,}25\times10^{16}\\ \mathrm{m/s^{2}}
a_{\min}=0\\ \mathrm{m/s^{2}}
\theta\approx14{,}48^\circ

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