Considere uma pirâmide VABCD de base quadrada. Seja P o centro da base ABCD e X, Y, Z e W pontos sobre as faces laterais tais que PXYWZ é uma pirâmide semelhante a VABCD, com as diagonais da base XZ e YW paralelos a BC e CD, respectivamente.
A razão de semelhança entre as duas pirâmides é
a) 1:(\sqrt{2}+1)
b) 1: 3
c) 1: 2
d) 1: \sqrt{2}
Passo 1
O enunciado fala de duas pirâmides quadrangulares semelhantes: a original VABCD, de base o quadrado ABCD e vértice V acima do centro P da base; e a “menor” PXYWZ, com vértice em P e base o quadrilátero XYWZ inscrito nas faces laterais de VABCD. As diagonais dessa base, XZ e YW, ficam paralelas a BC e a CD, respectivamente.
Para resolver, vamos
colocar tudo em coordenadas,
usar uma reflexão de V no plano da base para construir a pirâmide invertida,
ver que as interseções das faces originais e invertidas geram exatamente as retas paralelas a BC e CD que contêm XZ e YW,
e daí extrair a razão de semelhança por semelhança de triângulos.
Passo 2
Escolhemos coordenadas convenientes. Seja o quadrado base de lado 2 centrado em (0,0,0):
o centro P=(0,0,0) e o vértice V=(0,0,h). Assim cada aresta lateral VA,VB,VC,VD mede \sqrt{h^2+2}.
Agora refletimos V em relação ao plano z=0 (a base) e obtemos
V' = (0,0,-h).
A pirâmide V'ABCD é a imagem refletida de VABCD. Cada face lateral original, digamos \triangle VBC, e a face correspondente invertida \triangle V'BC se encontram ao longo de uma reta contida na interseção dos dois planos. Mostra‐se que:
A reta \bigl(\triangle VBC\bigr)\cap\bigl(\triangle V'CD\bigr) é paralela a BC.
A reta \bigl(\triangle VCD\bigr)\cap\bigl(\triangle V'DA\bigr) é paralela a CD.
Essas duas retas são exatamente as diagonais XZ e YW da base do polígono XYWZ.
Passo 3
Como XZ vem da interseção de duas faces simetricamente dispostas em relação ao plano z=0, todo ponto X dessa reta equidista de V e de V'. Logo cada ponto de \overline{XZ} satisfaz
\text{dist}(X,V)=\text{dist}(X,V').
Em particular, X e Z estão na “bissetriz” espacial do segmento VV'. De modo análogo, Y e W também estão nessa bissetriz.
Mas a bissetriz do segmento VV' é o plano horizontal z=0? Não: como as faces não são horizontais, a reta interseção fica num plano inclinado de modo que os pontos X,Y,Z,W não caem em z=0 — eles ficam todos à mesma altura positiva z=z_0. Porém o importante é que, pela simetria,
VX = V'X \quad\Longrightarrow\quad XZ\text{ é mediatriz de }VV'\!,é
e o mesmo para YW.
Passo 4
Em cada face lateral como \triangle VBC, a reta de interseção com a face invertida corta essa face em um ponto a uma altura z_0 tal que
\frac{z_0}{h} = \frac{1}{\sqrt2+1}.
Isso pode ser visto montando o triângulo vertical que liga V a um ponto da interseção: o ângulo entre duas faces adjacentes de um pirâmide quadrada reta é 90^\circ, e a bissetriz espacial entre V e V' forma, naquele triângulo, um par de triângulos retângulos isósceles que levam à relação
Então todas as arestas laterais do polígono XYWZ estão em pontos que dividem cada aresta V\!-\!\text{(vértice da base)}é na razão \dfrac{z_0}{h}=\tfrac1{\sqrt2+1}.
Passo 5
Logo a pirâmide PXYWZ tem exatamente todas as distâncias correspondentes (altura, arestas laterais, arestas da base) reduzidas de fator