Considere o conjunto A=\{1,2,3, \cdots, 50\}.
Em um grupo de 50 crianças, de quantas maneiras distintas podemos escolher 47 delas para participarem de uma brincadeira?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de escolher 47 crianças de um grupo de 50. Esse é um problema de combinações sem repetição, cujo conteúdo matemático principal são os coeficientes binomiais.

Passo 2

O número de formas de escolher k elementos de um conjunto com n elementos é dado pelo coeficiente binomial
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}.
Aqui temos n=50 e k=47, logo o resultado é \displaystyle \binom{50}{47}.

Passo 3

Usamos a propriedade de simetria dos coeficientes binomiais:
\binom{50}{47} \;=\;\binom{50}{50-47}\;=\;\binom{50}{3}.

Passo 4

Calculamos agora
\binom{50}{3} =\frac{50\cdot49\cdot48}{3\cdot2\cdot1} =\frac{50\cdot49\cdot48}{6} =\frac{117600}{6} =19600.

Resposta

19600 maneiras.

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