Sobre planos, faça o que se pede em cada item.
Obtenha a equação geral do plano beta contém os pontos A=(1,1,1), B=(-1,-2,1) e C=(0,1,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano beta que passa pelos pontos A=(1,1,1), B=(-1,-2,1) e C=(0,1,2). O conteúdo envolvido é geometria analítica em R^3 e vamos usar vetores diretores e produto vetorial para achar o vetor normal ao plano.

Passo 2

Calculamos dois vetores do plano a partir dos pontos dados:
AB = B - A = (-1-1,,-2-1,,1-1) = (-2,-3,0)
AC = C - A = (0-1,,1-1,,2-1) = (-1,0,1)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = AB times AC = i & j & k -2 & -3 & 0 -1 & 0 & 1 = (-3,,2,,-3)

Passo 4

A equação do plano com normal n=(nx,ny,nz) e que passa por A=(x0,y0,z0) é
nx(x-x0) + ny(y-y0) + nz(z-z0) = 0
Substituindo n=(-3,2,-3) e A=(1,1,1), vem
-3(x-1) + 2(y-1) -3(z-1) = 0

Passo 5

Expandindo e simplificando:
-3x +3 +2y -2 -3z +3 = 0
-3x +2y -3z +4 = 0
Multiplicando por -1 para padronizar, obtemos
3x -2y +3z -4 = 0

Resposta

A equação geral do plano beta é
3x - 2y + 3z - 4 = 0

Exercícios relacionados