Sobre o produto misto, apresente:
sua definição (expressão matemática).

Passo 1

Beleza! O exercício pede para apresentar a definição do produto misto, ou seja, qual a expressão matemática que define esse “produto” entre três vetores. Isso é conteúdo de Álgebra Vetorial (parte de vetores no espaço 3D). Para resolver, a gente vai precisar lembrar de dois conceitos básicos:
  1. Produto vetorial (cross product) de dois vetores em ℝ³
  2. Produto escalar (dot product) de dois vetores em ℝ³

Passo 2

Antes de mais nada, vamos recapitular rapidinho:
  • Se a = (ax,ay,az) e b = (bx,by,bz), o produto vetorial a×b é o vetor
atimesb ;=; i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
– e ele fica com componentes:
l((ay bz - az by),; (az bx - ax bz),; (ax by - ay bx)r)
  • Se u e v são vetores, o produto escalar u·v é
ucdotv ;=; ux vx + uy vy + uz vz,
que dá um número (escalar).
O produto misto combina os dois: primeiro você faz a×b, que é um vetor, e aí faz o escalar desse resultado com c, ou seja,
(atimesb)cdotc
Esse valor dá o volume (com sinal) do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c.

Passo 3

Existe uma forma “enxuta” de escrever esse mesmo número usando determinante 3×3:
(atimesb)cdotc ;=; ax & ay & az bx & by & bz cx & cy & cz

Resposta

boxed [a,b,c] ;=; (atimesb)cdotc ;=; ax & ay & az bx & by & bz cx & cy & cz

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