Sobre o produto misto, apresente:
três exemplos de aplicação no mundo real.

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo três exemplos de aplicação do produto misto (ou produto escalar triplo) no mundo real. O assunto aqui é cálculo vetorial, mais especificamente a relação entre produto vetorial e produto escalar. Pra resolver a gente vai precisar lembrar:
  1. Como se define produto vetorial: dado vec b times vec c e [vec a,vec b,vec c] ;=; vec a;cdot;(vec b times vec c) , é um vetor perpendicular a ambos.
  2. Como se define produto escalar entre dois vetores.
  3. E junta tudo no produto misto, que é
Além disso, vale saber que esse número é o volume orientado do paralelepípedo gerado por .

Passo 2

Antes de partir pros exemplos, vou explicar brevemente a teoria do produto misto:
  1. Produto vetorial vec acdot(vec btimesvec c), dá um vetor perpendicular aos dois, com módulo .
  2. Produto escalar dá um número .
  3. Quando fazemos a gente pega esse vetor perpendicular e projeta nele. O valor absoluto é o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores, e o sinal diz se ( ) formam uma base direita (positivo) ou esquerda (negativo).

Passo 3

Exemplo 1 – Arquitetura e construção civil
Em obras a gente muitas vezes precisa calcular o volume de vigas ou caixas que não são necessariamente alinhadas aos eixos V ;=; l|vec acdot(vec btimesvec c)r| . Se você tem três arestas de uma viga dadas pelos vetores , e , o volume dessa viga (paralelepípedo) é
Na prática, engenheiros usam medidas de comprimento em cada direção, montam esses vetores e aplicam o produto misto pra achar o volume exato do material necessário.

Passo 4

Exemplo 2 – Computação gráfica e modelagem 3D
Para saber se três pontos (ou três arestas) de uma malha estão no mesmo plano, a gente confere se o produto misto é zero:
vec acdot(vec btimesvec c) = 0 Long<=ftrightarrow vec a,vec b,vec c são coplanares ã
Em engines de jogos e softwares de CAD, isso evita renderizar faces “tortas” ou mal formadas e garante que polígonos fiquem alinhados corretamente.

Passo 5

Exemplo 3 – Física: trabalho de torque em rotação
Quando uma força vec tau = vec r times vec F age num ponto a partir de um vetor posição dW = vec tau cdot dvectheta = (vec r times vec F)cdot dvectheta, , o torque é
Se esse torque causa um deslocamento angular , o trabalho escalar é
que é exatamente um produto misto. Isso aparece em máquinas rotativas, turbinas e no estudo de motores elétricos.

Resposta

  1. Cálculo de volume de paralelepípedos em arquitetura e construção civil.
  2. Teste de coplanaridade em computação gráfica e modelagem 3D (para corrigir malhas).
  3. Cálculo do trabalho rotacional em física (torque aplicado e deslocamento angular).

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