Sobre uma reta marcam-se 4 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obteremos unindo 3 quaisquer desses 9 pontos?

Passo 1

O enunciado diz que temos duas retas paralelas, na primeira marcamos 4 pontos e na segunda marcamos 5 pontos, totalizando 9 pontos. Queremos contar quantos triângulos distintos são formados ao unir quaisquer 3 desses 9 pontos, lembrando que 3 pontos colineares não formam triângulo.

Passo 2

O número total de maneiras de escolher 3 pontos dentre 9 é dado por
\binom{9}{3} = \frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1} = 84.

Passo 3

Porém, as escolhas que pegam 3 pontos todos na mesma reta não geram triângulos (são colineares).
  • Na reta com 4 pontos há
    \displaystyle \binom{4}{3}=4 escolhas colineares.
  • Na reta com 5 pontos há
    \displaystyle \binom{5}{3}=10 escolhas colineares.
    Logo, o total de escolhas degeneradas é 4+10=14.

Passo 4

O número de triângulos válidos é
84 - 14 = 70.

Resposta

70

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