Sobre sequências de funções:
Determine se a sequência de funções
deninidas em
converge, e explique se a convergencia é uniforme.
Determine se a sequência de funções
Passo 1
O enunciado dá a sequência de funções
definidas em
. As perguntas são:
- A sequência
converge ponto a ponto em ? Em caso afirmativo, qual é a função limite? - A convergência (se existir) é uniforme em
?
Informações relevantes fornecidas: o domínio ée a soma é em de até .
Passo 2
Primeiro simplifico a soma: o termo somado não depende de
, então somar
vezes dá multiplicação por
. Logo
Isto já simplifica muito o trabalho — agora trabalhamos com a função explícita acima para cada
.
Passo 3
Vou estudar a convergência ponto a ponto. Pela definição, para cada
fixo, devemos analisar
.
- Se
temos, diretamente,
para todo
. Então
.
- Se
, então e . Denote , assim . Escrevemos
Aqui
é uma potência geométrica com razão
, isto é, decai exponencialmente quando
. O fator
cresce apenas polinomialmente. Uma ideia padrão (e fácil de justificar) é que uma decaída exponencial vence qualquer crescimento polinomial: por exemplo, escrevendo
temos
, e
tende a
em módulo mais rápido que
tende a
, portanto o expoente tende a
e
. Conclusão:
Assim a sequência converge ponto a ponto para a função nula
Passo 4
Agora analisamos se a convergência é uniforme. Lembrando a definição:
converge uniformemente para
em
se e somente se
Como
, isto equivale a verificar se
. Vou calcular ou estimar essa suprema.
Observação prática:
é par em
(depende só de
), então basta procurar máximo em
. Faço a mudança
, com
. Defino a função em
:
de modo que
.
Passo 5
Encontro o máximo de
calculando a derivada (método usual para máximo interior): para
,
Colocando em evidência
obtemos
Zerando a derivada, o único ponto crítico interior (além das bordas) satisfaz
que pertence a
quando
. A segunda derivada muda de sinal adequado (ou pelo sinal de
) indica que esse ponto é um máximo local e, comparando com os valores nas bordas
e
, é de fato o máximo global em
. Valores nas bordas:
No ponto crítico
obtemos o valor máximo
Passo 6
Agora calculo o limite desse máximo quando
. Note que
e que
Logo
Como a supremum dos valores
não tende a
, a convergência não é uniforme em
.
É interessante notar o fenômeno: o ponto onde
é máximo é
. Ou seja, os picos da sequência deslocam-se para
e mantêm uma altura que tende para
, impedindo a convergência uniforme.
Resposta
Converge ponto a ponto para
em
.
A convergência não é uniforme em (pois
).
A convergência não é uniforme em