Sobre sequências de funções:
Determine se a sequência de funções f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} deninidas em A=[-1,1] converge, e explique se a convergencia é uniforme.

Passo 1

O enunciado dá a sequência de funções
f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}
definidas em A=[-1,1]. As perguntas são:
  1. A sequência (f_{n}) converge ponto a ponto em A? Em caso afirmativo, qual é a função limite?
  2. A convergência (se existir) é uniforme em A?
    Informações relevantes fornecidas: o domínio é A=[-1,1] e a soma é em k de 0 até n.

Passo 2

Primeiro simplifico a soma: o termo somado não depende de k, então somar n+1 vezes dá multiplicação por n+1. Logo
f_{n}(x)=(n+1)\,\frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}.
Isto já simplifica muito o trabalho — agora trabalhamos com a função explícita acima para cada n.

Passo 3

Vou estudar a convergência ponto a ponto. Pela definição, para cada x\in[-1,1] fixo, devemos analisar \lim_{n\to\infty} f_{n}(x).
  • Se x=0 temos, diretamente,
f_{n}(0)=(n+1)\frac{0^{2}}{(1+0^{2})^{n}}=0
para todo n. Então \lim_{n\to\infty} f_{n}(0)=0.
  • Se x\neq0, então x^{2}>0 e 1+x^{2}>1. Denote t=1+x^{2}, assim t>1. Escrevemos
f_{n}(x)=(n+1)\,x^{2}\,t^{-n}.
Aqui t^{-n}=(1/t)^{n} é uma potência geométrica com razão 1/t\in(0,1), isto é, decai exponencialmente quando n\to\infty. O fator (n+1) cresce apenas polinomialmente. Uma ideia padrão (e fácil de justificar) é que uma decaída exponencial vence qualquer crescimento polinomial: por exemplo, escrevendo
f_{n}(x)=\exp\!\big(\ln(n+1)+n\ln(1/t)\big),
temos \ln(1/t)<0, e n\ln(1/t) tende a -\infty em módulo mais rápido que \ln(n+1) tende a +\infty, portanto o expoente tende a -\infty e f_{n}(x)\to0. Conclusão:
\lim_{n\to\infty} f_{n}(x)=0\quad\text{para todo }x\in[-1,1].
Assim a sequência converge ponto a ponto para a função nula
f(x)\equiv 0\quad\text{em }[-1,1].

Passo 4

Agora analisamos se a convergência é uniforme. Lembrando a definição: (f_{n}) converge uniformemente para f em A se e somente se
\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in A}|f_{n}(x)-f(x)|=0.
Como f\equiv0, isto equivale a verificar se \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[-1,1]} f_{n}(x)=0. Vou calcular ou estimar essa suprema.
Observação prática: f_{n} é par em x (depende só de x^{2}), então basta procurar máximo em [0,1]. Faço a mudança u=x^{2}, com u\in[0,1]. Defino a função em u:
h_{n}(u)=(n+1)\frac{u}{(1+u)^{n}},\qquad u\in[0,1],
de modo que \sup_{x\in[-1,1]} f_{n}(x)=\max_{u\in[0,1]} h_{n}(u).

Passo 5

Encontro o máximo de h_{n} calculando a derivada (método usual para máximo interior): para n\ge2,
h_{n}'(u)=(n+1)\left[(1+u)^{-n}+u\cdot(-n)(1+u)^{-n-1}\right].
Colocando em evidência (1+u)^{-n-1} obtemos
h_{n}'(u)=(n+1)(1+u)^{-n-1}\big(1+(1-n)u\big).
Zerando a derivada, o único ponto crítico interior (além das bordas) satisfaz
1+(1-n)u=0\quad\Longrightarrow\quad u=\frac{1}{n-1},
que pertence a (0,1] quando n\ge2. A segunda derivada muda de sinal adequado (ou pelo sinal de h_n') indica que esse ponto é um máximo local e, comparando com os valores nas bordas u=0 e u=1, é de fato o máximo global em [0,1]. Valores nas bordas:
h_{n}(0)=0,\qquad h_{n}(1)=\frac{n+1}{2^{n}}\to0.
No ponto crítico u^{*}=\dfrac{1}{n-1} obtemos o valor máximo
\begin{aligned} h_{n}\!\big(u^{*}\big) &=(n+1)\frac{1/(n-1)}{\big(1+1/(n-1)\big)^{n}} =\frac{n+1}{n-1}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}. \end{aligned}

Passo 6

Agora calculo o limite desse máximo quando n\to\infty. Note que
\frac{n+1}{n-1}\longrightarrow 1
e que
\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}\longrightarrow e^{-1}.
Logo
\max_{u\in[0,1]} h_{n}(u)=\sup_{x\in[-1,1]} f_{n}(x)\longrightarrow e^{-1}\neq 0.
Como a supremum dos valores |f_{n}-0| não tende a 0, a convergência não é uniforme em [-1,1].
É interessante notar o fenômeno: o ponto onde f_{n} é máximo é x_{n}=\sqrt{u^{*}}=\sqrt{1/(n-1)}\to0. Ou seja, os picos da sequência deslocam-se para 0 e mantêm uma altura que tende para e^{-1}, impedindo a convergência uniforme.

Resposta

Converge ponto a ponto para f(x)\equiv 0 em [-1,1].
A convergência não é uniforme em [-1,1] (pois \sup_{x\in[-1,1]} f_{n}(x)\to e^{-1}\neq0).

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