Sobre sequências de funções:
Dê um exemplo de uma seguência de funções que converge uniformemente nos reais, porém suas derivadas não convergem uniformemente.

Passo 1

Você pediu um exemplo de uma sequência de funções que converga uniformemente em \mathbb{R}, mas cujas derivadas não convergem uniformemente. Informação dada: domínio é todo o conjunto dos reais \mathbb{R}; queremos uma sequência (f_n)_{n\ge1} tal que (f_n) converga uniformemente para alguma função f em \mathbb{R}, e ao mesmo tempo as derivadas f_n' não tenham convergência uniforme em \mathbb{R}. Não foi dada nenhuma outra restrição.

Passo 2

Vou propor a sequência e depois mostrar passo a passo que ela tem as propriedades pedidas. A sequência que vou usar é
f_n(x)=\frac{x}{1+n x^2},\qquad x\in\mathbb{R},\; n=1,2,\dots
Antes de prosseguir, lembrinha útil (definição que vou aplicar): dizemos que f_n converge uniformemente para f em \mathbb{R} se
\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Vou mostrar que f_n converge uniformemente para a função zero f(x)\equiv0, e depois analisar as derivadas.

Passo 3

Primeiro, verificação da convergência pontual para f(x)\equiv0.
  • Para x=0 temos f_n(0)=0 para todo n, então f_n(0)\to0.
  • Para x\neq0 fixo, ao aumentar n o denominador 1+n x^2 cresce sem limite, então
f_n(x)=\frac{x}{1+n x^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Portanto, para cada x\in\mathbb{R} fixo temos f_n(x)\to0. A convergência pontual é para a função f(x)\equiv0.

Passo 4

Agora mostro que a convergência é uniforme. Para isso faço o cálculo do supremo da função |f_n(x)| em x\in\mathbb{R}.
Considere a função auxiliar (para x\ge0, por simetria o máximo absoluto ocorre em valores simétricos)
g_n(x)=\frac{x}{1+n x^2},\qquad x\ge0.
Calculo a derivada de g_n para encontrar o ponto de máximo:
g_n'(x)=\frac{(1+n x^2)\cdot 1 - x\cdot(2n x)}{(1+n x^2)^2}=\frac{1-n x^2}{(1+n x^2)^2}.
Zerando g_n'(x) obtemos 1-n x^2=0, ou seja x=\dfrac{1}{\sqrt{n}} (a solução positiva). Avaliando g_n nesse ponto:
g_n\!\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\frac{1/\sqrt{n}}{1+n\cdot(1/n)}=\frac{1/\sqrt{n}}{2}=\frac{1}{2\sqrt{n}}.
Como g_n(0)=0 e g_n(x)\to0 quando x\to\infty, o valor máximo de |f_n(x)| em \mathbb{R} é
\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)|=\frac{1}{2\sqrt{n}}.
Como \dfrac{1}{2\sqrt{n}}\to0 quando n\to\infty, concluímos que
\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-0|=\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)|\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
ou seja, f_n converge uniformemente para f\equiv0 em \mathbb{R}.

Passo 5

Agora vou calcular as derivadas f_n' explicitamente (aplico a regra do quociente). Para x\in\mathbb{R},
f_n(x)=\frac{x}{1+n x^2}.
Usando a regra do quociente \big(\tfrac{u}{v}\big)'=(u'v-uv')/v^2 com u(x)=x e v(x)=1+n x^2, temos u'(x)=1 e v'(x)=2n x. Então
f_n'(x)=\frac{1\cdot(1+n x^2)-x\cdot(2n x)}{(1+n x^2)^2}=\frac{1-n x^2}{(1+n x^2)^2}.
Isso vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Estudo a convergência pontual de [f_n’(x)).
  • Em x=0 temos diretamente f_n'(0)=\dfrac{1-0}{(1+0)^2}=1 para todo n. Logo f_n'(0)\to1.
  • Para x\neq0 fixo, ao crescer n temos no numerador 1-n x^2\sim -n x^2 e no denominador (1+n x^2)^2\sim n^2 x^4, portanto
f_n'(x)=\frac{1-n x^2}{(1+n x^2)^2}\sim\frac{-n x^2}{n^2 x^4}=-\frac{1}{n x^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Portanto o limite pontual das derivadas é a função
g(x)=\begin{cases} 1,& x=0,\\[4pt] 0,& x\neq0. \end{cases}
Note que g\] é descontínua em \(x=0.]

Passo 7

Mostro que as derivadas f_n' não convergem uniformemente em \mathbb{R}.
Argumento 1 (mais direto usando o ponto x=0): se f_n' convergisse uniformemente para alguma função g, então no limite g teria que ser a função limite pontual acima; em particular, se as f_n' convergissem uniformemente para 0 teríamos
\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n'(x)-0|\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Mas |f_n'(0)-0|=1 para todo n, então o supremo é pelo menos 1 para todo n, isto é
\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n'(x)|\ge|f_n'(0)|=1\quad\text{para todo }n,
logo não tende a 0. Portanto não há convergência uniforme para a função 0. Como o limite pontual não é contínuo (cada f_n' é contínua), também pela propriedade de que limite uniforme de funções contínuas é contínuo, concluímos que não existe convergência uniforme para a função limite pontual g (que é descontínua). Em outras palavras: as derivadas não convergem uniformemente em \mathbb{R}.

Passo 8

Resumo intuitivo (meio amigo explicando): a sequência f_n forma “picos” cada vez mais estreitos centrados em 0, cuja altura máxima tende a zero rápido o suficiente para garantir convergência uniforme para zero. Porém a inclinação no centro (a derivada em 0) permanece 1 para todo n, enquanto em qualquer outro ponto a inclinação vai para 0. Isso cria uma descontinuidade no limite das derivadas e impede a convergência uniforme das derivadas.

Resposta

f_n(x)=\dfrac{x}{1+n x^2} converge uniformemente para f(x)\equiv0 em \mathbb{R}, mas f_n'(x)=\dfrac{1-n x^2}{(1+n x^2)^2} não converge uniformemente em \mathbb{R}.

Exercícios relacionados