Sobre sequências de funções:
Dê um exemplo de uma seguência de funções que converge uniformemente nos reais, porém suas derivadas não convergem uniformemente.
Passo 1
Você pediu um exemplo de uma sequência de funções que converga uniformemente em \mathbb{R}, mas cujas derivadas não convergem uniformemente. Informação dada: domínio é todo o conjunto dos reais \mathbb{R}; queremos uma sequência (f_n)_{n\ge1} tal que (f_n) converga uniformemente para alguma função f em \mathbb{R}, e ao mesmo tempo as derivadas f_n' não tenham convergência uniforme em \mathbb{R}. Não foi dada nenhuma outra restrição.
Passo 2
Vou propor a sequência e depois mostrar passo a passo que ela tem as propriedades pedidas. A sequência que vou usar é
Mostro que as derivadas f_n' não convergem uniformemente em \mathbb{R}.
Argumento 1 (mais direto usando o ponto x=0): se f_n' convergisse uniformemente para alguma função g, então no limite g teria que ser a função limite pontual acima; em particular, se as f_n' convergissem uniformemente para 0 teríamos
Mas |f_n'(0)-0|=1 para todo n, então o supremo é pelo menos 1 para todo n, isto é
\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n'(x)|\ge|f_n'(0)|=1\quad\text{para todo }n,
logo não tende a 0. Portanto não há convergência uniforme para a função 0. Como o limite pontual não é contínuo (cada f_n' é contínua), também pela propriedade de que limite uniforme de funções contínuas é contínuo, concluímos que não existe convergência uniforme para a função limite pontual g (que é descontínua). Em outras palavras: as derivadas não convergem uniformemente em \mathbb{R}.
Passo 8
Resumo intuitivo (meio amigo explicando): a sequência f_n forma “picos” cada vez mais estreitos centrados em 0, cuja altura máxima tende a zero rápido o suficiente para garantir convergência uniforme para zero. Porém a inclinação no centro (a derivada em 0) permanece 1 para todo n, enquanto em qualquer outro ponto a inclinação vai para 0. Isso cria uma descontinuidade no limite das derivadas e impede a convergência uniforme das derivadas.
Resposta
f_n(x)=\dfrac{x}{1+n x^2} converge uniformemente para f(x)\equiv0 em \mathbb{R}, mas f_n'(x)=\dfrac{1-n x^2}{(1+n x^2)^2} não converge uniformemente em \mathbb{R}.