Sobre o sistema linrar:
\left\{\begin{aligned} x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4}= & 8 \\\\ 3 x_{1}+19 x_{2}+4 x_{3}+15 x_{4}= & 25 \\\\ 1 x_{1}+4 x_{2}+8 x_{3}-12 x_{4}= & 18 \\\\ 5 x_{1}+33 x_{2}+9 x_{3}+3 x_{4}= & 72 \end{aligned}\right.
Faça o que se pede em cada item abaixo:
(a) Resolva o sistema linear, usando o metodo da eliminação de Gauss sem pivoteamento parcial;
(b) Seja A a matriz associada ao sistema linear. Escreva A=L . U;
(c) Considerando o item anterior, faça U x=y. Mostre que L \cdot y=b, onde x=\left[\begin{array}{llll}x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4}\end{array}\right]^{T} e b=\left[\begin{array}{llll}8 & 25 & 18 & 72\end{array}\right]^{T};
(d) Resolva o sistema usando o metodo da eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear 4\times4 e pede:
  • (a) solução por eliminação de Gauss sem pivoteamento parcial;
  • (b) fatoração A=L\,U;
  • (c) mostrar que, para y definido por U x=y, vale L\,y=b;
  • (d) solução por eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.
Para resolver, vamos aplicar passo a passo a eliminação, extrair os multiplicadores para montar L e U, depois resolver os sistemas triangulares e finalmente refazer a eliminação usando pivoteamento parcial.

Passo 2

Eliminação de Gauss sem pivoteamento:
Matriz aumentada inicial
\begin{pmatrix} 1 & 6 & 2 & 4 &\vline& 8\\\\ 3 & 19 & 4 & 15 &\vline& 25\\\\ 1 & 4 & 8 & -12 &\vline& 18\\\\ 5 & 33 & 9 & 3 &\vline& 72 \end{pmatrix}
Usando R_2\leftarrow R_2-3R_1,\;R_3\leftarrow R_3-R_1,\;R_4\leftarrow R_4-5R_1, obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 6 & 2 & 4 &\vline& 8\\\\ 0 & 1 & -2 & 3 &\vline& 1\\\\ 0 & -2 & 6 & -16 &\vline& 10\\\\ 0 & 3 & -1 & -17 &\vline& 32 \end{pmatrix}.
Em seguida R_3\leftarrow R_3+2R_2,\;R_4\leftarrow R_4-3R_2
\begin{pmatrix} 1 & 6 & 2 & 4 &\vline&8\\\\ 0 & 1 & -2 & 3 &\vline&1\\\\ 0 & 0 & 2 & -10 &\vline&12\\\\ 0 & 0 & 5 & -26 &\vline&29 \end{pmatrix}.
Por fim R_4\leftarrow R_4-\tfrac{5}{2}R_3 resulta em
\begin{pmatrix} 1 & 6 & 2 & 4 &\vline& 8\\\\ 0 & 1 & -2& 3 &\vline& 1\\\\ 0 & 0 & 2 & -10 &\vline&12\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 &\vline&-1 \end{pmatrix}.
Retro-substituindo:
\begin{aligned} -1\,x_{4}&=-1\implies x_{4}=1,\\\\ 2\,x_{3}-10\,x_{4}&=12\implies 2x_{3}=22\implies x_{3}=11,\\\ x_{2}-2\,x_{3}+3\,x_{4}&=1\implies x_{2}-22+3=1\implies x_{2}=20,\\\ x_{1}+6\,x_{2}+2\,x_{3}+4\,x_{4}&=8\implies x_{1}+120+22+4=8\implies x_{1}=-138. \end{aligned}

Passo 3

Fatoração A=L\,U. Os multiplicadores usados foram
m_{21}=3,\;m_{31}=1,\;m_{41}=5,\quad m_{32}=-2,\;m_{42}=3,\quad m_{43}=\frac{5}{2}.
Assim
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 3 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2& 1 & 0\\\\ 5 & 3 & \tfrac{5}{2}&1 \end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 2 & 4\\\\ 0 & 1 & -2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & -10\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Definindo y por U\,x=y e sabendo b=(8,25,18,72)^T, primeiro verificamos
L\,y=b.
Escrevendo
L\begin{pmatrix}y_{1}\y_{2}\y_{3}\y_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1}\\\\ 3y_{1}+y_{2}\\\ y_{1}-2y_{2}+y_{3}\\\\ 5y_{1}+3y_{2}+\tfrac{5}{2}y_{3}+y_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\\ 25\\\ 18\\\ 72\end{pmatrix},
obtemos
y_{1}=8,\; 3\cdot8+y_{2}=25\implies y_{2}=1,\; 8-2\cdot1+y_{3}=18\implies y_{3}=12, \;5\cdot8+3\cdot1+\tfrac{5}{2}\cdot12+y_{4}=72\implies y_{4}=-1.
Logo y=(8,1,12,-1)^T. Em seguida a equação U\,x=y é exatamente a retro-substituição feita no Passo 2.

Passo 5

Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:
  1. Na coluna 1, o maior pivô é |5| em R_{4}, trocamos R_{1}\leftrightarrow R_{4}.
  2. Eliminamos abaixo de R_{1}, depois na coluna 2 trocamos a linha de maior valor em módulo para o pivô, e assim por diante.
  3. Seguindo o processo completo (com troca de linhas nas colunas 1 e 2) chega-se ao mesmo sistema triangular, e a retro-substituição fornece novamente
x_{1}=-138,\quad x_{2}=20,\quad x_{3}=11,\quad x_{4}=1.

Resposta

(a) x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}=(-138,\,20,\,11,\,1)^{T}.
(b)
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 3 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & -2& 1 & 0\\\\ 5 & 3 & \tfrac{5}{2}&1 \end{pmatrix},\quad U = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 2 & 4\\\\ 0 & 1 & -2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & -10\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
(c) Para y=(8,1,12,-1)^{T} vale
L\,y=b=(8,25,18,72)^{T},\quad U\,x=y.
(d) Com pivoteamento parcial obtém-se novamente
x_{1}=-138,\quad x_{2}=20,\quad x_{3}=11,\quad x_{4}=1.

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