Discuta as condições de existência do polinômio interpolador.
Passo 1
O enunciado pede que a gente discuta quando existe um polinômio
de grau no máximo
que interpola um conjunto de
pontos
. O assunto é interpolação polinomial, e vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes, em particular a matriz de Vandermonde.
Passo 2
Para interpolar, procuramos
tal que
Isso gera um sistema linear em
.
Passo 3
Escrevendo em forma matricial, temos
Essa matriz
chama-se matriz de Vandermonde.
Passo 4
O determinante de
é
Portanto:
- Se todos os
são distintos, cada diferença , logo . Aí o sistema é compatível determinado: existe um único vetor e, portanto, um único polinômio interpolador de grau . - Se algum par
com , então e o sistema não é de posto cheio.
Passo 5
Quando
, duas situações podem ocorrer:
- Se
mas , o sistema fica incompatível (não existe polinômio). - Se
e simultaneamente , as equações se repetem e o sistema é compatível indeterminado (infinitos polinômios satisfazem as condições, mas geralmente com grau maior que o mínimo).
Resposta
O polinômio interpolador de grau
existe e é único se, e somente se, os nós
forem todos distintos (então a matriz de Vandermonde é inversível). Se houver abscissas repetidas com valores distintos, não existe solução; se houver repetição de pontos idênticos, existe uma família infinita de soluções.