Discuta as condições de existência do polinômio interpolador.

Passo 1

O enunciado pede que a gente discuta quando existe um polinômio p de grau no máximo n que interpola um conjunto de n+1 pontos \bigl(x_i,y_i\bigr). O assunto é interpolação polinomial, e vamos usar conceitos de sistemas lineares e determinantes, em particular a matriz de Vandermonde.

Passo 2

Para interpolar, procuramos
p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n
tal que
p(x_i)=y_i,\quad i=0,1,\dots,n.
Isso gera um sistema linear em \bigl(a_0,a_1,\dots,a_n\bigr).

Passo 3

Escrevendo em forma matricial, temos
\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \cdots & x_0^n\\\\ 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^n\\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^n \end{pmatrix}}_{V} \begin{pmatrix}a_0\a_1\\vdots\a_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_0\y_1\\vdots\y_n\end{pmatrix}.
Essa matriz V chama-se matriz de Vandermonde.

Passo 4

O determinante de V é
\det(V)=\prod_{0\le i<j\le n}(x_j-x_i).
Portanto:
  • Se todos os x_i são distintos, cada diferença x_j - x_i\neq0, logo \det(V)\neq0. Aí o sistema é compatível determinado: existe um único vetor \bigl(a_0,\dots,a_n\bigr) e, portanto, um único polinômio interpolador de grau \le n.
  • Se algum par x_i=x_j com i\neq j, então \det(V)=0 e o sistema não é de posto cheio.

Passo 5

Quando \det(V)=0, duas situações podem ocorrer:
  1. Se x_i=x_j mas y_i\neq y_j, o sistema fica incompatível (não existe polinômio).
  2. Se x_i=x_j e simultaneamente y_i=y_j, as equações se repetem e o sistema é compatível indeterminado (infinitos polinômios satisfazem as condições, mas geralmente com grau maior que o mínimo).

Resposta

O polinômio interpolador de grau \le n existe e é único se, e somente se, os nós x_0,\dots,x_n forem todos distintos (então a matriz de Vandermonde é inversível). Se houver abscissas repetidas com valores distintos, não existe solução; se houver repetição de pontos idênticos, existe uma família infinita de soluções.

Exercícios relacionados