Sobre um skate de 3 kg , uma garota de 40 kg segura dois pesos de 5 kg . Em repouso, a garota arremessa os pesos, um depois do outro, horizontalmente para trás. A velocidade de cada peso em relação à garota e ao skate é de 7 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no instante do arremesso. Que velocidade adquire a garota na direção oposta ao lançamento do segundo peso? Admitir ausência de atrito.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados: m_{\text{skate}}=3\\ \mathrm{kg},\qquad m_{\text{garota}}=40\\ \mathrm{kg},
m_{\text{peso}}=5\\ \mathrm{kg}\\ (\text{cada um}),\qquad v_{\text{relativa}}=7\\ \mathrm{m/s}.
Inicialmente tudo está em repouso e a garota segura dois pesos (ou seja, a massa total inicial é 3+40+5+5).
  • Sequência de eventos: a garota arremessa os dois pesos, um depois do outro, horizontalmente para trás. A velocidade de cada peso no instante do arremesso é 7\\ \mathrm{m/s} em relação à garota+skate (ou seja, relativa ao sistema que está se movendo naquele instante).
  • O que se pede:
    • Qual é a velocidade que a garota (mais o skate) adquire, na direção oposta ao lançamento do segundo peso, após esse segundo arremesso?

Passo 2

Escolhemos uma convenção de sinais e definimos variáveis (isso evita confusão depois):
  • Direção positiva: para a frente, ou seja, “oposta ao lançamento” (portanto a velocidade que queremos será positiva).
  • Seja v_1 a velocidade do conjunto (garota + skate + peso restante) imediatamente depois do primeiro arremesso.
  • Seja v_2 a velocidade da garota + skate imediatamente depois do segundo arremesso (é a que o enunciado pede).
  • Observação importante sobre velocidades relativas: se a garota tem velocidade v no referencial do chão e ela arremessa um peso para trás com velocidade 7\\ \mathrm{m/s} relativa a ela, então a velocidade do peso no referencial do chão é v-7 (porque o peso sai no sentido negativo relativo à garota).
Também vamos usar o princípio físico central aqui: conservação do momento linear (momentum), pois não há forças externas horizontais (admitimos ausência de atrito). O momento linear de um corpo é
p = m v,
onde m é a massa e v a velocidade (no referencial do chão). Em um sistema isolado, o momento total antes do evento é igual ao momento total depois do evento.

Passo 3

Aplicando conservação do momento ao primeiro arremesso.
Antes do primeiro arremesso o sistema inteira (garota + skate + 2 pesos) está em repouso, então o momento inicial é zero.
Imediatamente depois do primeiro arremesso temos:
  • massa remanescente (garota + skate + 1 peso): 48\\ \mathrm{kg} com velocidade v_1;
  • peso arremessado: 5\\ \mathrm{kg} com velocidade no solo v_1-7 (porque foi lançado para trás com 7\\ \mathrm{m/s} relativo à garota que agora se move com v_1).
Conservação do momento:
0 = 48\,v_1 + 5\,(v_1-7).

Passo 4

Resolver a equação do primeiro arremesso passo a passo.
Expando e junto termos:
0 = 48v_1 + 5v_1 - 35.
0 = 53v_1 - 35.
53v_1 = 35.
v_1 = \frac{35}{53}\\ \mathrm{m/s}.
Se quiser ver numericamente,
v_1 \approx 0{,}6604\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: depois do primeiro arremesso o conjunto (garota+skate+um peso) já ficou com velocidade para frente de aproximadamente 0{,}66\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora aplicamos conservação do momento ao segundo arremesso.
Antes do segundo arremesso o sistema em movimento é: garota + skate + 1 peso, total 48\\ \mathrm{kg}, movendo-se com velocidade v_1 (valor que acabamos de calcular).
Depois do segundo arremesso:
  • garota + skate: massa 43\\ \mathrm{kg} com velocidade v_2 (o que queremos);
  • segundo peso: massa 5\\ \mathrm{kg} com velocidade no solo v_2-7 (lançado para trás com 7\\ \mathrm{m/s} relativo à garota no instante após o arremesso).
Conservação do momento entre imediatamente antes e imediatamente depois do segundo arremesso:
48\,v_1 = 43\,v_2 + 5\,(v_2-7).

Passo 6

Resolver a equação do segundo arremesso passo a passo.
Expando o lado direito:
48v_1 = 43v_2 + 5v_2 - 35.
48v_1 = 48v_2 - 35.
Isolo v_2:
48(v_2 - v_1) = 35,
v_2 = v_1 + \frac{35}{48}.

Passo 7

Substituo o valor de v_1 encontrado no passo 4 e somo frações com calma.
Temos v_1 = \dfrac{35}{53}, então
v_2 = \frac{35}{53} + \frac{35}{48}.
Fatorando 35:
v_2 = 35\!\left(\frac{1}{53}+\frac{1}{48}\right).
Somando com denominador comum 53\cdot 48:
\frac{1}{53}+\frac{1}{48}=\frac{48+53}{53\cdot 48}=\frac{101}{2544}.
Portanto
v_2 = 35\cdot\frac{101}{2544}=\frac{3535}{2544}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Valor numérico e interpretação final.
Calcule o valor numérico:
v_2 \approx 1{,}389\\ \mathrm{m/s}.
Isso significa que, após o segundo arremesso, a garota (mais o skate) está se movendo para frente (ou seja, na direção oposta à do lançamento) com aproximadamente 1{,}389\\ \mathrm{m/s}. Faz sentido fisicamente: cada arremesso para trás dá um impulso para frente, e o segundo arremesso aumenta ainda mais a velocidade (mas num montante dependente das massas em jogo).
Dica rápida para a prova: trate cada arremesso separadamente, conserve momento em cada etapa, e converta sempre a velocidade relativa em velocidade no referencial do chão por meio de v_{\text{peso, chão}}=v_{\text{garota, chão}}-v_{\text{relativa}}ãã.

Resposta

\displaystyle v_2=\frac{3535}{2544}\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}389\\ \mathrm{m/s}

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