Sobre um skate de 3 kg , uma garota de 40 kg segura dois pesos de 5 kg . Em repouso, a garota arremessa os pesos, um depois do outro, horizontalmente para trás. A velocidade de cada peso em relação à garota e ao skate é de
no instante do arremesso. Que velocidade adquire a garota na direção oposta ao lançamento do segundo peso? Admitir ausência de atrito.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dados:
Inicialmente tudo está em repouso e a garota segura dois pesos (ou seja, a massa total inicial é
).
- Sequência de eventos: a garota arremessa os dois pesos, um depois do outro, horizontalmente para trás. A velocidade de cada peso no instante do arremesso é
em relação à garota+skate (ou seja, relativa ao sistema que está se movendo naquele instante). - O que se pede:
- Qual é a velocidade que a garota (mais o skate) adquire, na direção oposta ao lançamento do segundo peso, após esse segundo arremesso?
Passo 2
Escolhemos uma convenção de sinais e definimos variáveis (isso evita confusão depois):
- Direção positiva: para a frente, ou seja, “oposta ao lançamento” (portanto a velocidade que queremos será positiva).
- Seja
a velocidade do conjunto (garota + skate + peso restante) imediatamente depois do primeiro arremesso. - Seja
a velocidade da garota + skate imediatamente depois do segundo arremesso (é a que o enunciado pede). - Observação importante sobre velocidades relativas: se a garota tem velocidade
no referencial do chão e ela arremessa um peso para trás com velocidade relativa a ela, então a velocidade do peso no referencial do chão é (porque o peso sai no sentido negativo relativo à garota).
Também vamos usar o princípio físico central aqui: conservação do momento linear (momentum), pois não há forças externas horizontais (admitimos ausência de atrito). O momento linear de um corpo é
onde
é a massa e
a velocidade (no referencial do chão). Em um sistema isolado, o momento total antes do evento é igual ao momento total depois do evento.
Passo 3
Aplicando conservação do momento ao primeiro arremesso.
Antes do primeiro arremesso o sistema inteira (garota + skate + 2 pesos) está em repouso, então o momento inicial é zero.
Imediatamente depois do primeiro arremesso temos:
- massa remanescente (garota + skate + 1 peso):
com velocidade ; - peso arremessado:
com velocidade no solo (porque foi lançado para trás com relativo à garota que agora se move com ).
Conservação do momento:
Passo 4
Resolver a equação do primeiro arremesso passo a passo.
Expando e junto termos:
Se quiser ver numericamente,
Interpretação rápida: depois do primeiro arremesso o conjunto (garota+skate+um peso) já ficou com velocidade para frente de aproximadamente
.
Passo 5
Agora aplicamos conservação do momento ao segundo arremesso.
Antes do segundo arremesso o sistema em movimento é: garota + skate + 1 peso, total
, movendo-se com velocidade
(valor que acabamos de calcular).
Depois do segundo arremesso:
- garota + skate: massa
com velocidade (o que queremos); - segundo peso: massa
com velocidade no solo (lançado para trás com relativo à garota no instante após o arremesso).
Conservação do momento entre imediatamente antes e imediatamente depois do segundo arremesso:
Passo 6
Resolver a equação do segundo arremesso passo a passo.
Expando o lado direito:
Isolo
:
Passo 7
Substituo o valor de
encontrado no passo 4 e somo frações com calma.
Temos
, então
Fatorando
:
Somando com denominador comum
:
Portanto
Passo 8
Valor numérico e interpretação final.
Calcule o valor numérico:
Isso significa que, após o segundo arremesso, a garota (mais o skate) está se movendo para frente (ou seja, na direção oposta à do lançamento) com aproximadamente
. Faz sentido fisicamente: cada arremesso para trás dá um impulso para frente, e o segundo arremesso aumenta ainda mais a velocidade (mas num montante dependente das massas em jogo).
Dica rápida para a prova: trate cada arremesso separadamente, conserve momento em cada etapa, e converta sempre a velocidade relativa em velocidade no referencial do chão por meio de
.