Um cilindro circular reto de raio R e altura L está orientado ao longo do eixo z e possui uma densidade de carga volumétrica não uniforme dada por
, onde
é medido em relação ao eixo do cilindro. Calcule o campo
elétrico produzido por essa distribuição em torno do eixo do cilindro.
elétrico produzido por essa distribuição em torno do eixo do cilindro.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Temos um cilindro circular reto de raio
e altura , orientado ao longo do eixo . - A densidade de carga volumétrica é radialmente não uniforme dada por
, onde é a distância radial ao eixo do cilindro (ou seja, a coordenada radial em coordenadas cilíndricas). - O que nos pedem: calcular o campo elétrico produzido por essa distribuição “em torno do eixo do cilindro” — isto é, determinar o campo elétrico como função da distância radial
ao eixo, tanto para pontos internos ( ) quanto para pontos externos ( ).
Estas são todas as informações relevantes que o enunciado fornece; a resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Escolhendo o método e assumindo simetria (expliquei por que):
- A densidade depende só de
(não depende de nem de ). Isso sugere simetria cilíndrica: o campo elétrico será radial (apontando para fora ou para dentro) e, se pudermos desprezar efeitos de borda nas extremidades e , o campo depende apenas da coordenada radial , não de nem de . - Para que essa simetria seja rigorosa usamos a idealização usual: ou o cilindro é considerado muito longo (ou essencialmente infinito) ou estamos interessados em pontos longe das extremidades (onde efeitos de borda são desprezíveis). Com essa hipótese, o campo tem somente componente radial
e é função apenas de . - Método escolhido: aplicar a Lei de Gauss com uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial (mesma simetria). É o método natural porque transforma um problema de volume em uma conta de fluxo/ carga encerrada, e funciona muito bem quando há simetria cilíndrica.
Passo 3
Lembrete e formulação da Lei de Gauss e da superfície gaussiana:
- Lei de Gauss (no vácuo) diz:
onde
é o fluxo do campo elétrico pela superfície fechada
,
é a carga total contida no volume delimitado por
, e
é a permissividade elétrica do vácuo.
- Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio
e comprimento (mesma altura do cilindro carregado). Para a hipótese de simetria mencionada, o campo é radial e uniforme sobre a superfície lateral do cilindro gaussiano, e praticamente nulo (ou desprezível) sobre as tampas (se assumirmos cilindro longo). Assim o fluxo pela superfície gaussiana será simplesmente vezes a área lateral :
- Agora precisamos calcular
, a carga contida no interior do raio . Faremos isso separadamente para o caso (superf. gaussiana dentro do cilindro carregado) e (superf. gaussiana envolvendo todo o cilindro carregado).
Passo 4
Cálculo da carga encerrada para
(dentro do cilindro): montar a integral de volume
- Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
onde usei
como variável de integração radial (para não confundir com o raio da superfície gaussiana
).
- A densidade é
. Então o elemento de carga é
- Integramos
de a , de a e de a . Assim
- Faço a integral passo a passo: primeiro em
e que só trazem fatores e :
- Agora integro em
:
- Portanto:
Passo 5
Aplicar a Lei de Gauss para obter
dentro do cilindro (
)
- Fluxo pela superfície gaussiana lateral é
. Pela Lei de Gauss:
- Cancelando
dos dois lados:
- Dividindo por
(para ):
- O sentido do campo é radial (para fora se a carga total local for positiva). Em notação vetorial:
Passo 6
Cálculo da carga total do cilindro (necessário para
)
- Para superfícies gaussianas com
toda a carga do cilindro está contida. Então primeiro calculamos integrando até :
Passo 7
Aplicar a Lei de Gauss para
(fora do cilindro)
- Pela Lei de Gauss, o fluxo pela superfície gaussiana de raio
e comprimento é:
- Cancelando
e isolando :
- Em forma vetorial:
Passo 8
Comentários finais, verificações e casos especiais (bom para fixar a intuição)
- Verificação dimensional rápida:
tem dimensão carga/volume, tem dimensão carga/(volume·comprimento) para que tenha dimensão de densidade; as fórmulas acima dão com dimensão correta (carga sobre vezes comprimento^{-2} ou comprimento^{-1} conforme o caso). - Caso
(densidade uniforme ) as fórmulas reduzem às conhecidas:
- Caso
(apenas termo radial ): dentro cresce como -termo dominante em e fora decai como com fator proporcional a . - Lembrete importante: as expressões derivadas assumem a simetria cilíndrica completa; isto é exatamente válida para um cilindro infinito. Para um cilindro finito de altura
as expressões são boas aproximações perto do centro (longe das extremidades) ou quando . Próximo das bordas e surgem componentes axiais e variação em que exigiriam uma integração mais elaborada.