Um cilindro circular reto de raio R e altura L está orientado ao longo do eixo z e possui uma densidade de carga volumétrica não uniforme dada por \rho(r)=\rho_{0}+\beta r, onde r é medido em relação ao eixo do cilindro. Calcule o campo
elétrico produzido por essa distribuição em torno do eixo do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temos um cilindro circular reto de raio R e altura L, orientado ao longo do eixo z.
  • A densidade de carga volumétrica é radialmente não uniforme dada por \rho(r)=\rho_{0}+\beta r, onde r é a distância radial ao eixo do cilindro (ou seja, a coordenada radial em coordenadas cilíndricas).
  • O que nos pedem: calcular o campo elétrico produzido por essa distribuição “em torno do eixo do cilindro” — isto é, determinar o campo elétrico como função da distância radial r ao eixo, tanto para pontos internos ( r<R) quanto para pontos externos ( r>R).
Estas são todas as informações relevantes que o enunciado fornece; a resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Escolhendo o método e assumindo simetria (expliquei por que):
  • A densidade depende só de r (não depende de \varphi nem de z). Isso sugere simetria cilíndrica: o campo elétrico será radial (apontando para fora ou para dentro) e, se pudermos desprezar efeitos de borda nas extremidades z=0 e z=L, o campo depende apenas da coordenada radial r, não de \varphi nem de z.
  • Para que essa simetria seja rigorosa usamos a idealização usual: ou o cilindro é considerado muito longo (ou essencialmente infinito) ou estamos interessados em pontos longe das extremidades (onde efeitos de borda são desprezíveis). Com essa hipótese, o campo tem somente componente radial E_r(r) e é função apenas de r.
  • Método escolhido: aplicar a Lei de Gauss com uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial (mesma simetria). É o método natural porque transforma um problema de volume em uma conta de fluxo/ carga encerrada, e funciona muito bem quando há simetria cilíndrica.

Passo 3

Lembrete e formulação da Lei de Gauss e da superfície gaussiana:
  • Lei de Gauss (no vácuo) diz:
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}},
onde \oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo do campo elétrico pela superfície fechada \mathcal{S}, Q_{\text{enc}} é a carga total contida no volume delimitado por \mathcal{S}, e \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo.
  • Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio r e comprimento L (mesma altura do cilindro carregado). Para a hipótese de simetria mencionada, o campo é radial e uniforme sobre a superfície lateral do cilindro gaussiano, e praticamente nulo (ou desprezível) sobre as tampas (se assumirmos cilindro longo). Assim o fluxo pela superfície gaussiana será simplesmente E(r) vezes a área lateral 2\pi r L:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot (2\pi r L).
  • Agora precisamos calcular Q_{\text{enc}}, a carga contida no interior do raio r. Faremos isso separadamente para o caso r<R (superf. gaussiana dentro do cilindro carregado) e r>R (superf. gaussiana envolvendo todo o cilindro carregado).

Passo 4

Cálculo da carga encerrada para r<R (dentro do cilindro): montar a integral de volume
  • Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
dV = r'\,dr'\,d\varphi\,dz,
onde usei r' como variável de integração radial (para não confundir com o raio da superfície gaussiana r).
  • A densidade é \rho(r')=\rho_{0}+\beta r'. Então o elemento de carga é
dq=\rho(r')\,dV=(\rho_{0}+\beta r')\,r'\,dr'\,d\varphi\,dz.
  • Integramos \varphi de 0 a 2\pi, z de 0 a L e r' de 0 a r. Assim
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{z=0}^{L}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{r'=0}^{r} (\rho_{0}+\beta r')\,r'\,dr'\,d\varphi\,dz.
  • Faço a integral passo a passo: primeiro em \varphi e z que só trazem fatores 2\pi e L:
Q_{\text{enc}}(r)=L\cdot 2\pi \int_{0}^{r} (\rho_{0} r' + \beta r'^{2})\,dr'.
  • Agora integro em r':
\int_{0}^{r} \rho_{0} r'\,dr' = \rho_{0}\,\frac{r^{2}}{2}, \qquad \int_{0}^{r} \beta r'^{2}\,dr' = \beta\,\frac{r^{3}}{3}.
  • Portanto:
Q_{\text{enc}}(r)=L\cdot 2\pi\left(\rho_{0}\frac{r^{2}}{2}+\beta\frac{r^{3}}{3}\right).

Passo 5

Aplicar a Lei de Gauss para obter E(r) dentro do cilindro ( r<R)
  • Fluxo pela superfície gaussiana lateral é E(r)\cdot 2\pi r L. Pela Lei de Gauss:
E(r)\cdot 2\pi r L = \frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}} = \frac{L\cdot 2\pi\left(\rho_{0}\dfrac{r^{2}}{2}+\beta\dfrac{r^{3}}{3}\right)}{\varepsilon_{0}}.
  • Cancelando 2\pi L dos dois lados:
E(r)\, r = \frac{1}{\varepsilon_{0}}\left(\rho_{0}\frac{r^{2}}{2}+\beta\frac{r^{3}}{3}\right).
  • Dividindo por r (para r>0):
E(r)=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\left(\rho_{0}\frac{r}{2}+\beta\frac{r^{2}}{3}\right),\qquad \text{para }0<r<R.
  • O sentido do campo é radial (para fora se a carga total local for positiva). Em notação vetorial:
\mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat{\mathbf{r}}=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\left(\rho_{0}\frac{r}{2}+\beta\frac{r^{2}}{3}\right)\hat{\mathbf{r}},\qquad 0<r<R.

Passo 6

Cálculo da carga total do cilindro (necessário para r>R)
  • Para superfícies gaussianas com r>R toda a carga do cilindro está contida. Então primeiro calculamos Q_{\text{total}} integrando até R:
Q_{\text{total}}=L\cdot 2\pi \int_{0}^{R} (\rho_{0} r' + \beta r'^{2})\,dr' = L\cdot 2\pi\left(\rho_{0}\frac{R^{2}}{2}+\beta\frac{R^{3}}{3}\right).

Passo 7

Aplicar a Lei de Gauss para r>R (fora do cilindro)
  • Pela Lei de Gauss, o fluxo pela superfície gaussiana de raio r e comprimento L é:
E(r)\cdot 2\pi r L = \frac{Q_{\text{total}}}{\varepsilon_{0}} = \frac{L\cdot 2\pi\left(\rho_{0}\dfrac{R^{2}}{2}+\beta\dfrac{R^{3}}{3}\right)}{\varepsilon_{0}}.
  • Cancelando 2\pi L e isolando E(r):
E(r)=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{\rho_{0}R^{2}}{2r}+\frac{\beta R^{3}}{3r}\right),\qquad \text{para }r>R.
  • Em forma vetorial:
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{\rho_{0}R^{2}}{2r}+\frac{\beta R^{3}}{3r}\right)\hat{\mathbf{r}},\qquad r>R.

Passo 8

Comentários finais, verificações e casos especiais (bom para fixar a intuição)
  • Verificação dimensional rápida: \rho_{0} tem dimensão carga/volume, \beta tem dimensão carga/(volume·comprimento) para que \beta r tenha dimensão de densidade; as fórmulas acima dão E com dimensão correta (carga sobre \varepsilon_{0} vezes comprimento^{-2} ou comprimento^{-1} conforme o caso).
  • Caso \beta=0 (densidade uniforme \rho=\rho_{0}) as fórmulas reduzem às conhecidas:
E(r)=\frac{\rho_{0} r}{2\varepsilon_{0}}\quad( r<R),\qquad E(r)=\frac{\rho_{0} R^{2}}{2\varepsilon_{0} r}\quad( r>R).
  • Caso \rho_{0}=0 (apenas termo radial \beta r): dentro cresce como r^{2}-termo dominante em E e fora decai como 1/r com fator proporcional a R^{3}.
  • Lembrete importante: as expressões derivadas assumem a simetria cilíndrica completa; isto é exatamente válida para um cilindro infinito. Para um cilindro finito de altura L as expressões são boas aproximações perto do centro (longe das extremidades) ou quando L\gg R. Próximo das bordas z=0 e z=L surgem componentes axiais e variação em z que exigiriam uma integração mais elaborada.

Resposta

\mathbf{E}(r)=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\left(\rho_{0}\frac{r}{2}+\beta\frac{r^{2}}{3}\right)\hat{\mathbf{r}},\qquad 0<r<R
\mathbf{E}(r)=\frac{1}{\varepsilon_{0}}\left(\frac{\rho_{0}R^{2}}{2r}+\frac{\beta R^{3}}{3r}\right)\hat{\mathbf{r}},\qquad r>R

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