Sobre os tipos de sistemas de 2^a ordem abaixo, usando frações parciais, mostre que:
A resposta ao degrau unitário do sistema não amortecido é:
y(t)=K[1-cos (omegan t)]

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente mostrar que, num sistema de 2ª ordem sem amortecimento (ζ=0), a resposta ao degrau unitário é
y(t)=Kl[1-cos(omegan t)r]
Conteúdo envolvido: transformada de Laplace, frações parciais e tabelinha de inversão de Laplace. Vamos usar a função de transferência do sistema, multiplicar pela transformada do degrau (1/s) e desfazer em frações parciais pra depois voltar pro domínio do tempo.

Passo 2

Primeiro montamos a função de transferência sem amortecimento. Geralmente ela é
G(s)=K,omegan^2s^2+2zetaomegan s+omegan^2,
mas aqui ζ=0, então vira
G(s)=K,omegan^2s^2+omegan^2
A saída em Laplace para um degrau unitário é
Y(s)=G(s)cdot1s =K,omegan^2s,(s^2+omegan^2)

Passo 3

Agora fazemos frações parciais em
K,omegan^2s,(s^2+omegan^2) =As+B,s+Cs^2+omegan^2
Multiplicando tudo por K,omegan^2=A,(s^2+omegan^2)+(B,s+C),s =(A+B),s^2 + C,s + A,omegan^2 :
Igualando coeficientes:
  • : .
  • : .
  • termo constante: .
    Logo , e .

Passo 4

Substituindo em Y(s)=Ks-K,ss^2+omegan^2 :
y(t)=K - Kcos(omegan t) =Kl[1-cos(omegan t)r]
Agora inverte Laplace usando tabelinha:
  • .
  • .
Então no tempo fica

Resposta

y(t)=Kl[1-cos(omegan t)r]

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