Usando frações parciais onde for necessário, calcule
para as seguintes expressões:
Passo 1
Beleza, a gente tem que achar a transformada inversa de
Esse é um exercício de Transformada de Laplace que envolve decompor em frações parciais e depois usar tabelinha (por exemplo, e ). Vamos precisar:
- Fazer a decomposição em frações parciais;
- Identificar cada termo com uma forma conhecida de transformada de Laplace;
- Somar tudo para obter
.
Passo 2
Primeiro, a gente escreve o “chute” da fração parcial:
Por que assim? Porque o denominador tem fatores simples
e um quadrado
, então cobrimos tudo com constantes A, B, C e D.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Agora vamos achar A, B, C, D. O jeito mais simples é avaliar em valores de
que anulem fatores.
Passo 4
Para achar
, escolha
:
Passo 5
Para achar
, escolha
:
Passo 6
Para achar
, escolha
:
Passo 7
Falta
. A gente pode usar um valor fácil, tipo
. Substituindo em
colocando
:
Substitui A, B, D:
Então
Passo 8
Agora montamos a fração parcial completa:
Usando as regras de transformada inversa:
- ,
- ,
a gente tem: