Usando frações parciais onde for necessário, calcule x(t) para as seguintes expressões:
X(s)=s+1(s+2)(s+3)(s+4)^2

Passo 1

Beleza, a gente tem que achar a transformada inversa de
X(s) = s+1(s+2)(s+3)(s+4)^2
Esse é um exercício de Transformada de Laplace que envolve decompor em frações parciais e depois usar tabelinha (por exemplo, e ). Vamos precisar:
  1. Fazer a decomposição em frações parciais;
  2. Identificar cada termo com uma forma conhecida de transformada de Laplace;
  3. Somar tudo para obter .

Passo 2

Primeiro, a gente escreve o “chute” da fração parcial:
s+1(s+2)(s+3)(s+4)^2 = As+2 + Bs+3 + Cs+4 + D(s+4)^2
Por que assim? Porque o denominador tem fatores simples e um quadrado , então cobrimos tudo com constantes A, B, C e D.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por s+1 = A,(s+3)(s+4)^2 ;+; B,(s+2)(s+4)^2 ;+; C,(s+2)(s+3)(s+4) ;+; D,(s+2)(s+3) para eliminar denominadores:
Agora vamos achar A, B, C, D. O jeito mais simples é avaliar em valores de que anulem fatores.

Passo 4

Para achar (-4)+1 = -3 = Dl((-4+2)(-4+3)r) = D,( -2cdot(-1) ) = 2D Longrightarrow D = -tfrac32 , escolha :

Passo 5

Para achar (-2)+1 = -1 = Al((-2+3)(-2+4)^2r) = A,(1cdot2^2) = 4A Longrightarrow A = -tfrac14 , escolha :

Passo 6

Para achar (-3)+1 = -2 = Bl((-3+2)(-3+4)^2r) = B,(-1cdot1^2) = -B Longrightarrow B = 2 , escolha :

Passo 7

Falta s+1 = A(s+3)(s+4)^2 + B(s+2)(s+4)^2 + C(s+2)(s+3)(s+4) + D(s+2)(s+3), . A gente pode usar um valor fácil, tipo 1 = A,(3cdot4^2) + B,(2cdot4^2) + C,(2cdot3cdot4) + D,(2cdot3) . Substituindo em
1 = l(-tfrac14cdot48r) + (2cdot32) + Ccdot24 + l(-tfrac32cdot6r) = -12 + 64 + 24C -9 = 43 + 24C
colocando 24C = 1 - 43 = -42 Longrightarrow C = -tfrac4224 = -tfrac74 :
Substitui A, B, D:
Então

Passo 8

Agora montamos a fração parcial completa:
X(s) = -tfrac141s+2 + 21s+3 - tfrac741s+4 - tfrac321(s+4)^2
Usando as regras de transformada inversa:
  • ,
  • ,
    a gente tem:
x(t) = -tfrac14 e^-2t + 2,e^-3t - tfrac74 e^-4t - tfrac32,t,e^-4t

Resposta

boxed x(t) = -tfrac14,e^-2t + 2,e^-3t - tfrac74,e^-4t - tfrac32,t,e^-4t

Exercícios relacionados