Nas seguintes afirmações, marque para verdadeiro e para falso.
(F) A transformação linear é um isomorfismo.
(F) A transformação linear não é um isomorfismo.
Sejam e bases de e v=(1,0) então T(x, y)=(-5 x+4 y, 6 x-4 y)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a veracidade de três afirmações sobre transformações lineares, usando critérios de isomorfismo (injetividade e sobrejetividade equivalentes, ou determinante não nulo em matrizes quadradas) e cálculo de fórmula explícita de T a partir de sua matriz em bases não canônicas.
Passo 2
Analisando a primeira afirmação:
Temos T: P2to R^3, dim P2=3 e dim R^3=3. Na base canônica 1,x,x^2 o núcleo trivial equivale a testar o determinante da matriz de T:
A= 1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 1 & 0 & -1
Calculamos
det A =1cdotdet2&10&-1 -1cdotdet0&11&-1 =1cdot(-2)-1cdot(-1)=-2+1=-1neq0
Como det Aneq0, T é invertível e, portanto, é isomorfismo. Logo a afirmação “T é um isomorfismo” é verdadeira.
Passo 3
Analisando a segunda afirmação:
Temos T: R^3to R^3,
T(x,y,z)=(2x,;4x-y,;2x+3y-z),
matriz canônica
B= 2 & 0 & 0 4 & -1& 0 2 & 3 & -1
O determinante é
det B =2cdotdet-1&03&-1 =2cdot(1)=2neq0
Logo T é invertível (isomorfismo). A afirmação “T não é isomorfismo” é falsa.
Passo 4
Analisando a terceira afirmação:
Temos
Para em coordenadas canônicas, achamos primeiro sua coordenada em :
Multiplicando pela matriz de :
Isso coincide com o enunciado, de modo que a afirmação é verdadeira.