Marque a alternativa VERDADEIRA.
a) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x^3-y^2, x+y) é uma transformação linear.
b) T: P2 R^2, dada por T(a+b x+c x^2)=(a+2 b, a+b+c) é uma transformação linear.
c) A transformação linear T: R^3 R^3 que satisfaz T(1,0,0)= (0,2,0), T(0,1,0)=(0,0,-2) e T(0,0,1)=(-1,0,3) é T(x, y, z)= (-z, 2 x,-2 y).
d) T: M2 R^3 dada por T=[lla & b c & d]=det|lla & b c & d| é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual das quatro aplicações dadas é uma transformação linear. Vamos usar o critério de linearidade: uma aplicação T é linear se, para todos os vetores u,v no domínio e todo escalar alpha, valem
T(u+v)=T(u)+T(v),
T(alpha u)=alpha,T(u)

Passo 2

Para a alternativa a), T:R^2toR^2 é dada por
T(x,y)=(x^3 - y^2,;x+y)
Observe que x^3 e y^2 não são funções lineares de (x,y). Por exemplo,
T(2,0)=(8,2)neq 2,(1,1)=2,T(1,0)
Logo, a) não é linear.

Passo 3

Para a alternativa b), T:P2toR^2 (onde P2 é o espaço dos polinômios de grau <=2) é definida por
T(a + b,x + c,x^2) = (,a + 2b,;a + b + c,)
Sejam p1(a1,b1,c1) e p2(a2,b2,c2). Então
T(p1+p2) =(,a1+a2+2(b1+b2),;a1+a2+b1+b2+c1+c2,)
= (a1+2b1,;a1+b1+c1)+(a2+2b2,;a2+b2+c2) = T(p1)+T(p2),
e para todo escalar k,
T(k,p1)=(k,a1+2k,b1,;k,a1+k,b1+k,c1)=k,(a1+2b1,;a1+b1+c1)=k,T(p1)
Portanto b) satisfaz os dois axiomas e é linear.

Passo 4

Para a alternativa c), se existisse uma transformação linear T com
T(1,0,0)=(0,2,0), T(0,1,0)=(0,0,-2), T(0,0,1)=(-1,0,3),
então a fórmula geral seria obtida estendendo por linearidade. A proposta
T(x,y,z)=(-z,;2x,;-2y)
de fato dá T(1,0,0)=(0,2,0) e T(0,1,0)=(0,0,-2), mas
T(0,0,1)=(-1,0,0)neq(-1,0,3)
Logo c) está incorreta.

Passo 5

Para a alternativa d), associando a matriz ao seu determinante não é linear, pois em geral
para matrizes . Logo d) não é linear.

Resposta

b) T:P2toR^2 dada por T(a+bx+cx^2)=(a+2b,;a+b+c) é linear.

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