1. Sobre um trilho de ar, sem atrito, na horizontal, um corpo oscila na extremidade de uma mola ideal de constante 2,5 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}. O gráfico mostra a aceleração do corpo em função do tempo.
c) (RA1) Escreva a equação da velocidade para esse corpo.

Passo 1

O enunciado pede, na letra (c), que se escreva a equação da velocidade para o corpo que oscila preso a uma mola sobre um trilho sem atrito. Dados e informações relevantes fornecidos (peguei estes números da imagem):
  • Constante da mola: k=2{,}5\\ \mathrm{N/cm}.
  • Do gráfico de aceleração versus tempo:
    • Amplitude máxima da aceleração: a_0=12\\ \mathrm{m/s^2}.
    • Há um máximo de aceleração em t=0{,}15\\ \mathrm{s} e o próximo máximo em t=0{,}35\\ \mathrm{s} (valores lidos na imagem).
  • O que se pede: escrever a função velocidade v(t) do movimento.

Passo 2

Conceitos básicos de movimento harmônico simples (SHM) que vamos usar — explicando de forma didática:
  • Em SHM, a posição em função do tempo pode ser escrita como
x(t)=A\cos\big(\omega t+\varphi\big),
onde:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento em metros),
  • \omega é a pulsação angular (em \mathrm{rad/s}),
  • \varphi é a fase inicial (em radianos).
  • A velocidade é a derivada temporal de x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin\big(\omega t+\varphi\big).
  • A aceleração é a derivada de v(t) (ou segunda derivada de x):
a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega^2\cos\big(\omega t+\varphi\big).
  • Observação útil: a amplitude da aceleração é \,a_0=\omega^2 A\,. Também podemos escrever a aceleração diretamente como
a(t)=a_0\cos\big(\omega t+\varphi\big),
com a_0=\omega^2 A (note que aqui o sinal de a_0 incorpora o facto de a(t) ser proporcional a \cos com o mesmo argumento que x(t) mas com fator -\omega^2).

Passo 3

Determinar a pulsação \omega a partir do gráfico (uso da informação de tempo entre máximos):
  • O tempo entre máximos consecutivos é o período T. Da imagem li t_1=0{,}15\\ \mathrm{s} e t_2=0{,}35\\ \mathrm{s}. Logo
T=t_2-t_1=0{,}35-0{,}15=0{,}20\\ \mathrm{s}.
  • A pulsação é
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0{,}20}=10\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Valor numérico aproximado:
\omega\approx 10\pi\approx 31{,}42\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Relacionar amplitude da aceleração com amplitude da velocidade (integração da aceleração):
  • Do gráfico pegamos a_0=12\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Se a aceleração é bem descrita por
a(t)=a_0\cos\big(\omega(t-t_p)\big),
onde t_p é o instante do máximo de aceleração (aqui t_p=0{,}15\\ \mathrm{s}), então podemos integrar para obter v(t):
v(t)=\int a(t)\,dt=\int a_0\cos\big(\omega(t-t_p)\big)\,dt.
  • A integral é imediata (regra básica: \int\cos(\omega t)\,dt=(1/\omega)\sin(\omega t)). Assim
v(t)=\frac{a_0}{\omega}\sin\big(\omega(t-t_p)\big)+C,
onde C é constante de integração.
  • Para escolher C: em SHM, quando a aceleração é máxima ( t=t_p) a partícula está em um extremo do deslocamento, portanto a velocidade é nula nesse instante. Logo v(t_p)=0. Aplicando isso:
0=v(t_p)=\frac{a_0}{\omega}\sin(0)+C\quad\Rightarrow\quad C=0.
  • Conclusão: a velocidade tem a forma
v(t)=\frac{a_0}{\omega}\sin\big(\omega(t-t_p)\big).

Passo 5

Substituir os valores numéricos e apresentar a equação final:
  • Temos a_0=12\\ \mathrm{m/s^2}, \omega=10\pi\\ \mathrm{rad/s} e t_p=0{,}15\\ \mathrm{s}. Portanto
\frac{a_0}{\omega}=\frac{12}{10\pi}=\frac{6}{5\pi}\\ \mathrm{m/s}.
  • A equação da velocidade fica
v(t)=\frac{6}{5\pi}\sin\big(10\pi\,(t-0{,}15)\big)\\ \mathrm{m/s}.
  • Valor aproximado da amplitude da velocidade:
\frac{6}{5\pi}\approx 0{,}382\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v(t)=\dfrac{6}{5\pi}\sin\big(10\pi\,(t-0{,}15)\big)\\ \mathrm{m/s}

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