- Sobre um trilho de ar, sem atrito, na horizontal, um corpo oscila na extremidade de uma mola ideal de constante
. O gráfico mostra a aceleração do corpo em função do tempo.
c) (RA1) Escreva a equação da velocidade para esse corpo.
Passo 1
O enunciado pede, na letra (c), que se escreva a equação da velocidade para o corpo que oscila preso a uma mola sobre um trilho sem atrito. Dados e informações relevantes fornecidos (peguei estes números da imagem):
- Constante da mola:
. - Do gráfico de aceleração versus tempo:
- Amplitude máxima da aceleração:
. - Há um máximo de aceleração em
e o próximo máximo em (valores lidos na imagem).
- Amplitude máxima da aceleração:
- O que se pede: escrever a função velocidade
do movimento.
Passo 2
Conceitos básicos de movimento harmônico simples (SHM) que vamos usar — explicando de forma didática:
- Em SHM, a posição em função do tempo pode ser escrita como
onde:
-
é a amplitude (máximo deslocamento em metros), -
é a pulsação angular (em ), -
é a fase inicial (em radianos). - A velocidade é a derivada temporal de
:
- A aceleração é a derivada de
(ou segunda derivada de ):
- Observação útil: a amplitude da aceleração é
. Também podemos escrever a aceleração diretamente como
com
(note que aqui o sinal de
incorpora o facto de
ser proporcional a
com o mesmo argumento que
mas com fator
).
Passo 3
Determinar a pulsação
a partir do gráfico (uso da informação de tempo entre máximos):
- O tempo entre máximos consecutivos é o período
. Da imagem li e . Logo
- A pulsação é
- Valor numérico aproximado:
Passo 4
Relacionar amplitude da aceleração com amplitude da velocidade (integração da aceleração):
- Do gráfico pegamos
. - Se a aceleração é bem descrita por
onde
é o instante do máximo de aceleração (aqui
), então podemos integrar para obter
:
- A integral é imediata (regra básica:
). Assim
onde
é constante de integração.
- Para escolher
: em SHM, quando a aceleração é máxima ( ) a partícula está em um extremo do deslocamento, portanto a velocidade é nula nesse instante. Logo . Aplicando isso:
- Conclusão: a velocidade tem a forma
Passo 5
Substituir os valores numéricos e apresentar a equação final:
- Temos
, e . Portanto
- A equação da velocidade fica
- Valor aproximado da amplitude da velocidade: