1. (KAZ) Um sistema oscılatorıo bioco-mola possuı uma energia mecanıca de 1, \mathrm{UO} \mathrm{J}, uma amplitude de 1 \mathrm{U}, \mathrm{U} \mathrm{cm} e uma velocidade máxima de 1,20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine (a) a constante elástica; (b) a massa do bloco e (c) a frequência de oscilação.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou escrever exatamente os números e unidades que entendi do enunciado, e já converter para unidades do SI quando necessário):
  • Energia mecânica total: E = 1,00\\ \mathrm{J}.
  • Amplitude: A = 1,00\\ \mathrm{cm} = 0,01\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade máxima: v_{\max} = 1,20\\ \mathrm{m/s}.
O que o problema pede:
(a) a constante elástica k da mola;
(b) a massa m do bloco;
(c) a frequência de oscilação f.
Observação: estou assumindo que os valores escritos no enunciado correspondem a E=1{,}00\\ \mathrm{J}, A=1{,}00\\ \mathrm{cm} e v_{\max}=1{,}20\\ \mathrm{m/s}. Fiz a conversão de A para metros porque todas as fórmulas que vamos usar exigem unidades do SI.

Passo 2

Conceitos essenciais e fórmulas que vamos usar (mini-aula rápida de oscilador harmônico simples):
  • Para um oscilador massa-mola sem atrito (movimento harmônico simples), a energia mecânica total E é constante e é soma da energia potencial elástica e da energia cinética. No extremo do movimento (amplitude) toda a energia é potencial; no ponto de passagem pela posição de equilíbrio a energia é cinética máxima. Assim valem as igualdades:
E=\frac{1}{2}kA^{2} \qquad\text{e}\qquad E=\frac{1}{2}m v_{\max}^{2}.
Explicando cada símbolo: k é a constante elástica da mola (unidade \mathrm{N/m}), A é a amplitude (em metros), m é a massa (em kg) e v_{\max} é a velocidade máxima (em \mathrm{m/s}).
  • A frequência angular \omega do oscilador é dada por
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
A frequência em hertz é
f=\frac{\omega}{2\pi}.
  • Também vale a relação entre velocidade máxima, amplitude e \omega:
v_{\max}=\omega A,
que é útil para checar consistência dos valores.

Passo 3

Determinar k a partir de E e A.
Partimos de \displaystyle E=\frac{1}{2}kA^{2}. Isolando k obtemos
k=\frac{2E}{A^{2}}.
Substituindo os valores numéricos (tudo em SI):
A^{2}=(0,01)^{2}=0,0001=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Logo
k=\frac{2\cdot 1{,}00}{1{,}0\times10^{-4}}=\frac{2{,}00}{1{,}0\times10^{-4}}=2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m}.
Portanto a constante elástica calculada é \displaystyle k=2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Determinar m a partir de E e v_{\max}.
Partimos de \displaystyle E=\frac{1}{2}m v_{\max}^{2}. Isolando m obtemos
m=\frac{2E}{v_{\max}^{2}}.
Calculando v_{\max}^{2}:
v_{\max}^{2}=(1{,}20)^{2}=1{,}44\\ \mathrm{(m/s)^{2}}.
Substituindo:
m=\frac{2\cdot 1{,}00}{1{,}44}=\frac{2{,}00}{1{,}44}=1{,}388888\ldots\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com três algarismos significativos, m\approx 1{,}39\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Determinar a frequência (primeiro achar \omega, depois f).
Usando \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{k}{m}}. Já temos k=2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m} e m\approx1{,}388888\\ \mathrm{kg}, então
\frac{k}{m}=\frac{2{,}0\times10^{4}}{1{,}388888\ldots}=1{,}44\times10^{4}.
Assim
\omega=\sqrt{1{,}44\times10^{4}}=120\\ \mathrm{rad/s}.
Como checagem rápida, usando v_{\max}=\omega A temos \omega=v_{\max}/A=1{,}20/0{,}01=120\\ \mathrm{rad/s}, mesma resposta — bom sinal!
Agora a frequência em hertz:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{120}{2\pi}=\frac{60}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx 19{,}10\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Resumo dos resultados obtidos (sem repetir argumentos, apenas consolidação final dos cálculos que fizemos):
  • Constante elástica: \displaystyle k=2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m}.
  • Massa: \displaystyle m\approx1{,}39\\ \mathrm{kg}.
  • Frequência: \displaystyle f=\frac{60}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx19{,}10\\ \mathrm{Hz}.
Força de incentivo: ótimo trabalho até aqui — os números deram certinhos (a relação v_{\max}=\omega A é uma excelente forma de checar resultados rápidos na prova).

Resposta

(a) k=2{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{N/m}
(b) m=1{,}39\\ \mathrm{kg}
(c) f=\dfrac{60}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx19{,}10\\ \mathrm{Hz}

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