Sobre os vértices de um triângulo equilátero, com comprimento de lado igual a 1,00 \mathrm{~cm}, foram fixadas 3 cabeças de alfinetes carregadas eletricamente. Na base as cargas têm intensidade de \mathbf{+ 2 , 0 0} \boldsymbol{\mu} \mathbf{C}. No vértice oposto à base a carga é de \mathbf{- 1 , 0 0} \boldsymbol{\mu} \mathbf{C}. Determinar o campo elétrico resultante (módulo e direção) na posição em que se encontra uma das cargas da base, e em seguida determinar a força eletrostática sobre esta carga. (análogo a Questão 4)

Passo 1

O enunciado dá um triângulo equilátero de lado 1{,}00\\ \mathrm{cm} com três cargas pontuais fixas nos vértices: duas cargas na base com intensidade +2{,}00\\ \mu\mathrm{C} (cada) e, no vértice oposto à base, uma carga de -1{,}00\\ \mu\mathrm{C}. A tarefa é: (a) determinar o campo elétrico resultante (módulo e direção) no ponto onde está uma das cargas da base; (b) determinar a força eletrostática sobre essa carga da base. Informação relevante listada explicitamente:
\begin{aligned} &\text{lado do triângulo: } a = 1{,}00\\ \mathrm{cm} = 0{,}01\\ \mathrm{m},\\\ &\text{cargas: } q_A = +2{,}00\\ \mu\mathrm{C},\quad q_B = +2{,}00\\ \mu\mathrm{C},\quad q_C = -1{,}00\\ \mu\mathrm{C},\\\ &\text{pedido: } \mathbf{E}_\text{resultante} \text{ no ponto de } q_A,\quad \mathbf{F} \text{ sobre } q_A. \end{aligned}â

Passo 2

Vou colocar um sistema de coordenadas simples para não me perder nas direções (isso facilita muito na prova). Escolho:
\text{vértice }A\\ \text{(ponto onde calculamos)}\;=\;(0,0),é
\text{vértice }B\\ \text{(outro vértice da base)}\;=\;(a,0)=(0{,}01,0)\\ \mathrm{m},éé
\text{vértice }C\\ \text{(vértice superior)}\;=\;\Big(\tfrac{a}{2},h\Big),éé
onde h é a altura do triângulo equilátero. Calculo h:
h=\frac{\sqrt{3}}{2}\,a=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot0{,}01\\ \mathrm{m}=0{,}008660254\\ \mathrm{m}\\ \text{(aprox.)}.
Distâncias relevantes do ponto A aos outros vértices:
r_{AB}=a=0{,}01\\ \mathrm{m},\qquad r_{AC}=a=0{,}01\\ \mathrm{m},
pois em um triângulo equilátero todos os lados têm mesmo comprimento.

Passo 3

Conceito físico e fórmula que vou usar (explicando como se tivesse na prova):
  • Lei de Coulomb para campo elétrico gerado por uma carga pontual q: em módulo
E=\frac{k|q|}{r^{2}},
onde k=8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}, q é a carga fonte (em coulombs) e r é a distância do ponto até a carga (em metros). O vetor campo é
\mathbf{E}=k\frac{q}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}},
onde \hat{\mathbf{r}} é o versor que aponta do ponto onde está a carga fonte para o ponto onde calculamos o campo. Se q>0 o campo sai da carga (repulsão); se q<0 o campo aponta para a carga (atração).
  • Princípio da superposição: o campo resultante é a soma vetorial dos campos gerados por cada carga individualmente:
\mathbf{E}_{\text{res}}=\sum_{i}\mathbf{E}_{i}.
Vou calcular separadamente \mathbf{E} devido a q_B e devido a q_C no ponto A, e somá-los vetorialmente. Depois uso \mathbf{F}=q_A\mathbf{E}_{\text{res}} para a força sobre q_A.

Passo 4

Converto as cargas para coulombs e calculo as intensidades escalares dos campos (módulos) gerados a distância r=0{,}01\\ \mathrm{m}:
q_B=+2{,}00\\ \mu\mathrm{C}=2{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\qquad q_C=-1{,}00\\ \mu\mathrm{C}=-1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Cálculo do módulo do campo gerado por q_B em A:
E_B=\frac{k|q_B|}{r^{2}} = \frac{8{,}988\times10^{9}\cdot 2{,}00\times10^{-6}}{(0{,}01)^{2}} =1{,}7976\times10^{8}\\ \mathrm{N/C}.
Cálculo do campo gerado por q_C em A (módulo):
E_C=\frac{k|q_C|}{r^{2}} = \frac{8{,}988\times10^{9}\cdot 1{,}00\times10^{-6}}{(0{,}01)^{2}} =8{,}988\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}.
Agora observo as direções:
  • q_B é positiva, então o campo em A devido a q_B aponta para longe de B. Como B está à direita de A, esse campo em A aponta para a esquerda (eixo negativo x). Logo \mathbf{E}_B tem componentes \mathbf{E}_B=(-E_B,0).
  • q_C é negativa, então o campo em A devido a q_C aponta em direção a C (atração). A direção de A para C forma um ângulo de 60^\circ acima do eixo +x, porém o versor do campo a partir de C para A que usei antes é \hat{\mathbf{r}}_{C\to A}=(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}); com q_C<0 esse produto dá um campo em A apontando para +x e +y (ou seja, para cima e para a direita), que é coerente com a atração de A por C. Vou usar diretamente os componentes do versor \hat{\mathbf{r}}_{C\to A}=(-0{,}5,\,-0{,}8660254) e a fórmula vetorial para obter as componentes de \mathbf{E}_C.

Passo 5

Calculo as componentes dos campos (tudo com r=0{,}01\\ \mathrm{m}):
  • Para \mathbf{E}_B (apontando para a esquerda):
\mathbf{E}_B = (-E_B,\,0)=\bigl(-1{,}7976\times10^{8},\;0\bigr)\\ \mathrm{N/C}.
  • Para \mathbf{E}_C, uso
\mathbf{E}_C=k\frac{q_C}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}}_{C\to A}
com k\frac{q_C}{r^{2}}=-8{,}988\times10^{7}\\ \mathrm{N/C} (note o sinal negativo porque q_C<0), e \hat{\mathbf{r}}_{C\to A}=(-0{,}5,\,-0{,}8660254). Então
\begin{aligned} E_{C,x}&=(-8{,}988\times10^{7})(-0{,}5)=4{,}494\times10^{7}\\ \mathrm{N/C},\\[4pt] E_{C,y}&=(-8{,}988\times10^{7})(-0{,}8660254)=7{,}7838\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}. \end{aligned}]

Passo 6

Somando as componentes para obter o campo resultante em A:
\begin{aligned} E_{x,\text{res}}&=E_{B,x}+E_{C,x}=-1{,}7976\times10^{8}+4{,}494\times10^{7}=-1{,}3482\times10^{8}\\ \mathrm{N/C},\\[4pt] E_{y,\text{res}}&=E_{B,y}+E_{C,y}=0+7{,}7838\times10^{7}=7{,}7838\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}. \end{aligned}
Cálculo do módulo:
\begin{aligned} \bigl|\mathbf{E}_{\text{res}}\bigr| &=\sqrt{E_{x,\text{res}}^{2}+E_{y,\text{res}}^{2}}\\[4pt] &=\sqrt{(-1{,}3482\times10^{8})^{2}+(7{,}7838\times10^{7})^{2}}\\[4pt] &\approx 1{,}56\times10^{8}\\ \mathrm{N/C}. \end{aligned}
Direção (ângulo medido a partir do eixo +x, no sentido anti-horário):
\theta=\arctan\!\left(\frac{E_{y,\text{res}}}{E_{x,\text{res}}}\right).
Aqui E_{x,\text{res}}<0 e E_{y,\text{res}}>0, logo o vetor está no segundo quadrante. Calculo o ângulo de referência:
\alpha=\arctan\!\left(\frac{|E_{y,\text{res}}|}{|E_{x,\text{res}}|}\right) =\arctan\!\left(\frac{7{,}7838\times10^{7}}{1{,}3482\times10^{8}}\right)\approx 30^\circ.
Portanto o ângulo absoluto medido a partir do eixo +x é
\theta=180^\circ-\alpha\approx 150^\circ.
Interpretação: o campo aponta para a esquerda e para cima, fazendo 30^\circ acima do eixo negativo x (ou 150^\circ a partir do eixo positivo x).]

Passo 7

Agora calculo a força eletrostática sobre a carga q_A=+2{,}00\\ \mu\mathrm{C}=2{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}. Uso \mathbf{F}=q_A\mathbf{E}_{\text{res}}. Componentes:
\begin{aligned} F_x&=q_A E_{x,\text{res}}=2{,}00\times10^{-6}\cdot(-1{,}3482\times10^{8})=-2{,}6964\times10^{2}\\ \mathrm{N},\\[4pt] F_y&=q_A E_{y,\text{res}}=2{,}00\times10^{-6}\cdot(7{,}7838\times10^{7})=1{,}5568\times10^{2}\\ \mathrm{N}. \end{aligned}
Módulo da força:
\begin{aligned} |\mathbf{F}|&=\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}} \approx\sqrt{(-2{,}6964\times10^{2})^{2}+(1{,}5568\times10^{2})^{2}}\\[4pt] &\approx 3{,}12\times10^{2}\\ \mathrm{N}. \end{aligned}
A direção de \mathbf{F} é a mesma do campo (força sobre carga positiva aponta na mesma direção do campo), ou seja, 150^\circ medidos a partir do eixo +x (para a esquerda e para cima).]

Resposta

\displaystyle |\mathbf{E}_{\text{res}}|=1{,}56\times10^{8}\\ \mathrm{N/C},\;\text{direção: }150^\circ\text{ (a partir do }+x\text{), ou }30^\circ\text{ acima do eixo }-x.çã\n
\displaystyle |\mathbf{F}|=3{,}12\times10^{2}\\ \mathrm{N},\;\text{direção: }150^\circ\text{ (mesma direção do campo).}çãçã

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