Sobre os vértices de um triângulo equilátero, com comprimento de lado igual a 1,00 \mathrm{~cm}, foram fixadas 3 cabeças de alfinetes carregadas eletricamente. Na base as cargas têm intensidade de \mathbf{+ 2 , 0 0} \boldsymbol{\mu} \mathbf{C}. No vértice oposto à base a carga é de \mathbf{- 1 , 0 0} \boldsymbol{\mu} \mathbf{C}. Determinar o campo elétrico resultante (módulo e direção) na posição em que se encontra uma das cargas da base, e em seguida determinar a força eletrostática sobre esta carga. (análogo a Questão 4)
Passo 1
O enunciado dá um triângulo equilátero de lado 1{,}00\\ \mathrm{cm} com três cargas pontuais fixas nos vértices: duas cargas na base com intensidade +2{,}00\\ \mu\mathrm{C} (cada) e, no vértice oposto à base, uma carga de -1{,}00\\ \mu\mathrm{C}. A tarefa é: (a) determinar o campo elétrico resultante (módulo e direção) no ponto onde está uma das cargas da base; (b) determinar a força eletrostática sobre essa carga da base. Informação relevante listada explicitamente:
\begin{aligned} &\text{lado do triângulo: } a = 1{,}00\\ \mathrm{cm} = 0{,}01\\ \mathrm{m},\\\ &\text{cargas: } q_A = +2{,}00\\ \mu\mathrm{C},\quad q_B = +2{,}00\\ \mu\mathrm{C},\quad q_C = -1{,}00\\ \mu\mathrm{C},\\\ &\text{pedido: } \mathbf{E}_\text{resultante} \text{ no ponto de } q_A,\quad \mathbf{F} \text{ sobre } q_A. \end{aligned}
Passo 2
Vou colocar um sistema de coordenadas simples para não me perder nas direções (isso facilita muito na prova). Escolho:
\text{vértice }A\\ \text{(ponto onde calculamos)}\;=\;(0,0),
\text{vértice }B\\ \text{(outro vértice da base)}\;=\;(a,0)=(0{,}01,0)\\ \mathrm{m},
pois em um triângulo equilátero todos os lados têm mesmo comprimento.
Passo 3
Conceito físico e fórmula que vou usar (explicando como se tivesse na prova):
Lei de Coulomb para campo elétrico gerado por uma carga pontual q: em módulo
E=\frac{k|q|}{r^{2}},
onde k=8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}, q é a carga fonte (em coulombs) e r é a distância do ponto até a carga (em metros). O vetor campo é
\mathbf{E}=k\frac{q}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}},
onde \hat{\mathbf{r}} é o versor que aponta do ponto onde está a carga fonte para o ponto onde calculamos o campo. Se q>0 o campo sai da carga (repulsão); se q<0 o campo aponta para a carga (atração).
Princípio da superposição: o campo resultante é a soma vetorial dos campos gerados por cada carga individualmente:
\mathbf{E}_{\text{res}}=\sum_{i}\mathbf{E}_{i}.
Vou calcular separadamente \mathbf{E} devido a q_B e devido a q_C no ponto A, e somá-los vetorialmente. Depois uso \mathbf{F}=q_A\mathbf{E}_{\text{res}} para a força sobre q_A.
Passo 4
Converto as cargas para coulombs e calculo as intensidades escalares dos campos (módulos) gerados a distância r=0{,}01\\ \mathrm{m}:
q_B é positiva, então o campo em A devido a q_B aponta para longe de B. Como B está à direita de A, esse campo em A aponta para a esquerda (eixo negativo x). Logo \mathbf{E}_B tem componentes \mathbf{E}_B=(-E_B,0).
q_C é negativa, então o campo em A devido a q_C aponta em direção a C (atração). A direção de A para C forma um ângulo de 60^\circ acima do eixo +x, porém o versor do campo a partir de C para A que usei antes é \hat{\mathbf{r}}_{C\to A}=(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt{3}}{2}); com q_C<0 esse produto dá um campo em A apontando para +x e +y (ou seja, para cima e para a direita), que é coerente com a atração de A por C. Vou usar diretamente os componentes do versor \hat{\mathbf{r}}_{C\to A}=(-0{,}5,\,-0{,}8660254) e a fórmula vetorial para obter as componentes de \mathbf{E}_C.
Passo 5
Calculo as componentes dos campos (tudo com r=0{,}01\\ \mathrm{m}):
com k\frac{q_C}{r^{2}}=-8{,}988\times10^{7}\\ \mathrm{N/C} (note o sinal negativo porque q_C<0), e \hat{\mathbf{r}}_{C\to A}=(-0{,}5,\,-0{,}8660254). Então
Portanto o ângulo absoluto medido a partir do eixo +x é
\theta=180^\circ-\alpha\approx 150^\circ.
Interpretação: o campo aponta para a esquerda e para cima, fazendo 30^\circ acima do eixo negativo x (ou 150^\circ a partir do eixo positivo x).]
Passo 7
Agora calculo a força eletrostática sobre a carga q_A=+2{,}00\\ \mu\mathrm{C}=2{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{C}. Uso \mathbf{F}=q_A\mathbf{E}_{\text{res}}. Componentes:
A direção de \mathbf{F} é a mesma do campo (força sobre carga positiva aponta na mesma direção do campo), ou seja, 150^\circ medidos a partir do eixo +x (para a esquerda e para cima).]
Resposta
\displaystyle |\mathbf{E}_{\text{res}}|=1{,}56\times10^{8}\\ \mathrm{N/C},\;\text{direção: }150^\circ\text{ (a partir do }+x\text{), ou }30^\circ\text{ acima do eixo }-x.çã\n \displaystyle |\mathbf{F}|=3{,}12\times10^{2}\\ \mathrm{N},\;\text{direção: }150^\circ\text{ (mesma direção do campo).}çãçã