Sobre cada vértice de um quadrado com aresta de
de comprimento foram fixadas 4 cabeças de alfinetes, todas com carga elétrica de
. Determinar o vetor campo elétrico resultante na posição em que se encontra a carga do vértice superior direito, e em seguida determinar a força eletrostática sobre esta carga. (análogo a Questão 5)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro o vetor campo elétrico resultante na posição do vértice superior direito do quadrado; segundo a força eletrostática atuando sobre a carga colocada nesse vértice. Informações dadas (todas transformadas para notação matemática): \n
(aresta do quadrado), \n
(carga fixa em cada vértice), \n
existem cargas iguais (uma em cada vértice). \n
Vou calcular o campo elétrico no vértice superior direito devido às outras três cargas (não se inclui a própria carga quando se calcula o campo no ponto onde ela está). Depois multiplico o campo pela carga desse vértice para obter a força.
existem
Vou calcular o campo elétrico no vértice superior direito devido às outras três cargas (não se inclui a própria carga quando se calcula o campo no ponto onde ela está). Depois multiplico o campo pela carga desse vértice para obter a força.
Passo 2
Escolha de coordenadas e conversões: \n
coloco o quadrado no plano com aresta paralela aos eixos e canto inferior esquerdo na origem. Assim os quatro vértices são: \n
inferior esquerdo , \n
inferior direito , \n
superior esquerdo , \n
superior direito (ponto onde queremos o campo). \n
Converter para metros:
coloco o quadrado no plano
inferior esquerdo
inferior direito
superior esquerdo
superior direito
Converter
Passo 3
Relembrando a lei de Coulomb e princípio de superposição (aula rapidinha): \n
o campo elétrico criado por uma carga pontual em um ponto distante
(vetor do gerador até o ponto onde se avalia) é
o campo elétrico criado por uma carga pontual
onde
é a constante eletrostática (
),
é a distância, e
é o versor apontando do gerador para o ponto (para cargas positivas o campo aponta para fora, ou seja, na direção que afasta um teste positivo). \n
Pelo princípio da superposição, o campo total é soma vetorial dos campos gerados por cada carga separadamente:
Pelo princípio da superposição, o campo total é soma vetorial dos campos gerados por cada carga separadamente:
Passo 4
Calcular o campo no ponto
devido à carga em
(carga imediatamente à esquerda): \n
vetor deslocamento de para
é
, distância
. O versor é
. Portanto
vetor deslocamento de
Aqui cada símbolo significa:
constante eletrostática,
carga em
,
distância entre
e
,
versor na direção
.
Passo 5
Calcular o campo no ponto
devido à carga em
(carga imediatamente abaixo): \n
vetor deslocamento de para
é
, distância
. O versor é
. Portanto
vetor deslocamento de
Passo 6
Calcular o campo no ponto
devido à carga em
(carga diagonal inferior esquerda): \n
vetor deslocamento de para
é
. A distância é
vetor deslocamento de
O versor na direção de
é
Logo o campo produzido por
em
é
Expliquei: o denominador tem
; depois multiplicamos pelo versor
.
Passo 7
Somar vetorialmente os três campos para obter o campo total em
. Somando componentes
e
separadamente:
Observação importante:
por simetria, logo o vetor aponta na direção
(45° em relação aos eixos).
Passo 8
Calcular a magnitude e o versor do campo total. Como
, a magnitude é
Simplificando o fator:
Portanto uma expressão compacta é
e o versor da direção é
(45° no primeiro quadrante).
Passo 9
Substituir valores numéricos (atenção às unidades e casas significativas): \n
,
,
. Primeiro calcule
:
Agora a magnitude:
Usando
obtemos
logo
Componentes (pois
):
Passo 10
Calcular a força eletrostática sobre a carga colocada em
. A força sobre essa carga
é
Como
, a magnitude da força é
Componentes:
A direção é a mesma do campo:
no primeiro quadrante.