Sobre cada vértice de um quadrado com aresta de 1,00 \mathrm{~cm} de comprimento foram fixadas 4 cabeças de alfinetes, todas com carga elétrica de \mathbf{+ 1 , 0 0} \mathbf{n C}. Determinar o vetor campo elétrico resultante na posição em que se encontra a carga do vértice superior direito, e em seguida determinar a força eletrostática sobre esta carga. (análogo a Questão 5)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro o vetor campo elétrico resultante na posição do vértice superior direito do quadrado; segundo a força eletrostática atuando sobre a carga colocada nesse vértice. Informações dadas (todas transformadas para notação matemática): \n
a=1{,}00\\ \mathrm{cm} (aresta do quadrado), \n
q=+1{,}00\\ \mathrm{nC}=1{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C} (carga fixa em cada vértice), \n
existem 4 cargas iguais (uma em cada vértice). \n
Vou calcular o campo elétrico no vértice superior direito devido às outras três cargas (não se inclui a própria carga quando se calcula o campo no ponto onde ela está). Depois multiplico o campo pela carga desse vértice para obter a força.

Passo 2

Escolha de coordenadas e conversões: \n
coloco o quadrado no plano xy com aresta paralela aos eixos e canto inferior esquerdo na origem. Assim os quatro vértices são: \n
inferior esquerdo A=(0,0), \n
inferior direito B=(a,0), \n
superior esquerdo C=(0,a), \n
superior direito D=(a,a) (ponto onde queremos o campo). \n
Converter a para metros:
a=1{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Relembrando a lei de Coulomb e princípio de superposição (aula rapidinha): \n
o campo elétrico criado por uma carga pontual Q em um ponto distante \mathbf{r} (vetor do gerador até o ponto onde se avalia) é
\mathbf{E}=\displaystyle k\frac{Q}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante eletrostática ( k\approx8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}), r=|\mathbf{r}| é a distância, e \hat{\mathbf{r}} é o versor apontando do gerador para o ponto (para cargas positivas o campo aponta para fora, ou seja, na direção que afasta um teste positivo). \n
Pelo princípio da superposição, o campo total é soma vetorial dos campos gerados por cada carga separadamente:
\mathbf{E}_{\text{total}}=\sum_{i}\mathbf{E}_{i}.

Passo 4

Calcular o campo no ponto D=(a,a) devido à carga em C=(0,a) (carga imediatamente à esquerda): \n
vetor deslocamento de C para D é \mathbf{r}_{CD}=(a,0), distância r_{CD}=a. O versor é \hat{\mathbf{r}}_{CD}=\hat{\imath}. Portanto
\mathbf{E}_{C}=k\frac{q}{a^{2}}\hat{\imath}.
Aqui cada símbolo significa: k constante eletrostática, q carga em C, a distância entre C e D, \hat{\imath} versor na direção +x.

Passo 5

Calcular o campo no ponto D devido à carga em B=(a,0) (carga imediatamente abaixo): \n
vetor deslocamento de B para D é \mathbf{r}_{BD}=(0,a), distância r_{BD}=a. O versor é \hat{\mathbf{r}}_{BD}=\hat{\jmath}. Portanto
\mathbf{E}_{B}=k\frac{q}{a^{2}}\hat{\jmath}.

Passo 6

Calcular o campo no ponto D devido à carga em A=(0,0) (carga diagonal inferior esquerda): \n
vetor deslocamento de A para D é \mathbf{r}_{AD}=(a,a). A distância é
r_{AD}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2}.
O versor na direção de (a,a) é
\hat{\mathbf{r}}_{AD}=\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\imath}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\jmath}.
Logo o campo produzido por A em D é
\mathbf{E}_{A}=k\frac{q}{(a\sqrt{2})^{2}}\hat{\mathbf{r}}_{AD} = k\frac{q}{2a^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\imath}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{\jmath}\right) = k\frac{q}{2\sqrt{2}\,a^{2}}\left(\hat{\imath}+\hat{\jmath}\right).
Expliquei: o denominador tem (a\sqrt{2})^{2}=2a^{2}; depois multiplicamos pelo versor (1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}).

Passo 7

Somar vetorialmente os três campos para obter o campo total em D. Somando componentes x e y separadamente:
E_{x}=k\frac{q}{a^{2}}+k\frac{q}{2\sqrt{2}\,a^{2}}=k\frac{q}{a^{2}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right),
E_{y}=k\frac{q}{a^{2}}+k\frac{q}{2\sqrt{2}\,a^{2}}=k\frac{q}{a^{2}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).
Observação importante: E_{x}=E_{y} por simetria, logo o vetor aponta na direção \hat{\imath}+\hat{\jmath} (45° em relação aos eixos).

Passo 8

Calcular a magnitude e o versor do campo total. Como E_{x}=E_{y}, a magnitude é
|\mathbf{E}|=\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}=\sqrt{2}\,E_{x} =\sqrt{2}\;k\frac{q}{a^{2}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right).
Simplificando o fator:
\sqrt{2}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}+\frac{1}{2}.
Portanto uma expressão compacta é
|\mathbf{E}|=k\frac{q}{a^{2}}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right),
e o versor da direção é \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}) (45° no primeiro quadrante).

Passo 9

Substituir valores numéricos (atenção às unidades e casas significativas): \n
k=8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}, q=1{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, a=0{,}01\\ \mathrm{m}. Primeiro calcule kq/a^{2}:
\frac{kq}{a^{2}}=\frac{8{,}988\times10^{9}\cdot1{,}00\times10^{-9}}{(0{,}01)^{2}}=8{,}988\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}=8{,}988\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
Agora a magnitude:
|\mathbf{E}|=8{,}988\times10^{4}\left(\sqrt{2}+\tfrac{1}{2}\right)\\ \mathrm{N/C}.
Usando \sqrt{2}\approx1{,}41421356 obtemos
\sqrt{2}+\tfrac{1}{2}\approx1{,}91421356,
logo
|\mathbf{E}|\approx8{,}988\times10^{4}\times1{,}91421356\approx1{,}72\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Componentes (pois E_{x}=E_{y}=|\mathbf{E}|/\sqrt{2}):
E_{x}=E_{y}\approx1{,}22\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 10

Calcular a força eletrostática sobre a carga colocada em D. A força sobre essa carga q_{\text{teste}}=q é
\mathbf{F}=q\,\mathbf{E}.
Como q=1{,}00\times10^{-9}\\ \mathrm{C}, a magnitude da força é
|\mathbf{F}|=q\,|\mathbf{E}|\approx1{,}00\times10^{-9}\times1{,}72\times10^{5}\\ \mathrm{N}\approx1{,}72\times10^{-4}\\ \mathrm{N}.
Componentes:
F_{x}=qE_{x}\approx1{,}00\times10^{-9}\times1{,}22\times10^{5}\\ \mathrm{N}\approx1{,}22\times10^{-4}\\ \mathrm{N},
F_{y}=F_{x}\approx1{,}22\times10^{-4}\\ \mathrm{N}.
A direção é a mesma do campo: 45^\circ no primeiro quadrante.

Resposta

\displaystyle \vec{E}=(1{,}22\times10^{5}\,\hat{\imath}+1{,}22\times10^{5}\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{N/C} (ou |\vec{E}|\approx1{,}72\times10^{5}\\ \mathrm{N/C} direção 45^\circ)\n
\displaystyle \vec{F}=(1{,}22\times10^{-4}\,\hat{\imath}+1{,}22\times10^{-4}\,\hat{\jmath})\\ \mathrm{N} (ou |\vec{F}|\approx1{,}72\times10^{-4}\\ \mathrm{N} direção 45^\circ)

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