Considere que o módulo do vetor campo elétrico produzido por uma carga pontual seja igual a \mathbf{E}_{\mathbf{o}} quando a distância radial for igual a \mathbf{r}_{\mathbf{o}}.
Determinar o módulo do vetor campo elétrico quando a distância for \mathbf{2 r}_{\mathbf{o}} e comparar com o módulo do vetor campo elétrico para a distância \mathbf{r}_{\mathbf{o}}.
Determinar o módulo do vetor campo elétrico quando a distância for \mathbf{4 r}_{\mathbf{o}} e comparar com o módulo do vetor campo elétrico para a distância \mathbf{r}_{\mathbf{o}}.
Determinar a módulo do vetor campo elétrico quando a distância for \mathbf{r}_{\mathbf{0}} / \mathbf{2} e comparar com o módulo do vetor campo elétrico para a distância \mathbf{r}_{\mathbf{o}}.
Com os dados acima construir um gráfico de módulo do vetor campo elétrico \mathbf{E} em função da distância radial \mathbf{r}.

Passo 1

O enunciado dá uma informação e faz três perguntas concretas, além de pedir um gráfico. Vou resumir claramente o que é dado e o que se pede (assim a gente não se perde no meio do desespero — tá tudo organizado).
Dado:
\text{O módulo do campo elétrico é } \mathbf{E}_0 \text{ quando a distância radial é } \mathbf{r}_0.óééâé
Perguntas:
  1. Determinar o módulo do campo elétrico quando a distância for \mathbf{2r}_0 e comparar com \mathbf{E}_0.
  2. Determinar o módulo do campo elétrico quando a distância for \mathbf{4r}_0 e comparar com \mathbf{E}_0.
  3. Determinar o módulo do campo elétrico quando a distância for \mathbf{r}_0/2 e comparar com \mathbf{E}_0.
  4. Construir o gráfico do módulo do campo elétrico \mathbf{E} em função da distância radial \mathbf{r}.
Nada mais será resolvido neste passo — só identifiquei o que foi pedido e os dados que temos.

Passo 2

Agora vamos à regra física/matemática que a questão usa: o campo elétrico de uma carga pontual segue a chamada lei do inverso do quadrado da distância. Escrevendo isso:
E(r) = k\frac{|q|}{r^{2}},
onde
  • E(r) é o módulo do campo elétrico à distância r da carga;
  • k é a constante eletrostática (por exemplo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0});
  • |q| é o valor absoluto da carga pontual;
  • r é a distância radial do ponto até a carga.
Explicando didaticamente: essa fórmula diz que, se você dobrar a distância ( r\to 2r), o denominador r^2 fica quatro vezes maior ( (2r)^2=4r^2), então o campo fica quatro vezes menor. Se você reduzir a distância pela metade ( r\to r/2), o denominador fica (r/2)^2=r^2/4, ou seja quatro vezes menor, então o campo fica quatro vezes maior. É isso que chamamos de comportamento “inverso-quadrático”.

Passo 3

Expressão útil em função de \mathbf{E}_0 e \mathbf{r}_0: como sabemos que E(\,r_0\,)=\mathbf{E}_0, podemos escrever
\mathbf{E}_0 = k\frac{|q|}{\mathbf{r}_0^{2}}.
Isolando k|q| a partir dessa relação e substituindo na expressão geral, obtemos uma forma prática:
E(r)=\underbrace{k\frac{|q|}{\mathbf{r}_0^{2}}}_{=\mathbf{E}_0}\cdot\frac{\mathbf{r}_0^{2}}{r^{2}} = \mathbf{E}_0\left(\frac{\mathbf{r}_0}{r}\right)^{2}.
Essa fórmula é ótima para a prova: ela expressa E(r) diretamente em termos de \mathbf{E}_0 e razões de distâncias.

Passo 4

Caso 1: r=2\mathbf{r}_0.
Substituindo na fórmula obtida:
E(2\mathbf{r}_0)=\mathbf{E}_0\left(\frac{\mathbf{r}_0}{2\mathbf{r}_0}\right)^{2}=\mathbf{E}_0\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\mathbf{E}_0\cdot\frac{1}{4}=\frac{\mathbf{E}_0}{4}.
Comparação com \mathbf{E}_0: o campo em 2\mathbf{r}_0 é um quarto de \mathbf{E}_0. Em palavras: dobrar a distância reduz o campo para 25% do valor original.

Passo 5

Caso 2: r=4\mathbf{r}_0.
Substituindo:
E(4\mathbf{r}_0)=\mathbf{E}_0\left(\frac{\mathbf{r}_0}{4\mathbf{r}_0}\right)^{2}=\mathbf{E}_0\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\mathbf{E}_0\cdot\frac{1}{16}=\frac{\mathbf{E}_0}{16}.
Comparação com \mathbf{E}_0: o campo em 4\mathbf{r}_0 é 1/16 de \mathbf{E}_0. Intuição: quadruplicar a distância reduz o campo em fator 4^2=16.

Passo 6

Caso 3: r=\dfrac{\mathbf{r}_0}{2}.
Substituindo:
E\!\left(\frac{\mathbf{r}_0}{2}\right)=\mathbf{E}_0\left(\frac{\mathbf{r}_0}{\mathbf{r}_0/2}\right)^{2}=\mathbf{E}_0\left(2\right)^{2}=\mathbf{E}_0\cdot 4=4\mathbf{E}_0.
Comparação com \mathbf{E}_0: reduzindo a distância pela metade, o campo fica quatro vezes maior.

Passo 7

Agora o gráfico E versus r. Vou te dizer exatamente como desenhar rápido na prova e o que anotar — sem desenho real, mas com todos os pontos e a forma:
  1. Use a expressão útil que já temos em destaque:
E(r)=\mathbf{E}_0\left(\frac{\mathbf{r}_0}{r}\right)^{2}.
  1. Pontos chave que você deve marcar no gráfico (isto é, coordenadas (r,E) em termos de \mathbf{r}_0 e \mathbf{E}_0):
\left(\frac{\mathbf{r}_0}{2},\,4\mathbf{E}_0\right),\quad \left(\mathbf{r}_0,\,\mathbf{E}_0\right),\quad \left(2\mathbf{r}_0,\,\frac{\mathbf{E}_0}{4}\right),\quad \left(4\mathbf{r}_0,\,\frac{\mathbf{E}_0}{16}\right).
  1. Forma do gráfico: curva positiva que decresce rapidamente quando r aumenta, com comportamento proporcional a 1/r^2. Mais exatamente:
  • Quando r\to 0^+, E(r)\to +\infty (singularidade perto da carga).
  • Quando r\to +\infty, E(r)\to 0.
  • A curva passa pelos pontos listados e é suave (sem quebras) para r>0.
  1. E uma dica esperta para a prova: em escala log–log, o gráfico de \log E versus \log r é uma reta de declive -2, porque \log E = \log\mathbf{E}_0 - 2\log(r/\mathbf{r}_0). Isso ajuda a checar rapidez dos números.

Resposta

E(2\mathbf{r}_0)=\dfrac{\mathbf{E}_0}{4}.
E(4\mathbf{r}_0)=\dfrac{\mathbf{E}_0}{16}.
E\!\left(\dfrac{\mathbf{r}_0}{2}\right)=4\mathbf{E}_0.
Gráfico: E(r)=\mathbf{E}_0\left(\dfrac{\mathbf{r}_0}{r}\right)^{2} (curva positiva decrescente com E\to\infty quando r\to0^+ e E\to0 quando r\to\infty); pontos-chave \left(\dfrac{\mathbf{r}_0}{2},4\mathbf{E}_0\right),\left(\mathbf{r}_0,\mathbf{E}_0\right),\left(2\mathbf{r}_0,\dfrac{\mathbf{E}_0}{4}\right),\left(4\mathbf{r}_0,\dfrac{\mathbf{E}_0}{16}\right).

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