Considere que o módulo do vetor campo elétrico produzido por uma carga pontual seja igual a \mathbf{E}_{\mathbf{o}} quando a distância radial for igual a \mathbf{r}_{\mathbf{o}}.
Determinar o módulo do vetor campo elétrico quando a distância for \mathbf{2 r}_{\mathbf{o}} e comparar com o módulo do vetor campo elétrico para a distância \mathbf{r}_{\mathbf{o}}.
Determinar o módulo do vetor campo elétrico quando a distância for \mathbf{4 r}_{\mathbf{o}} e comparar com o módulo do vetor campo elétrico para a distância \mathbf{r}_{\mathbf{o}}.
Determinar a módulo do vetor campo elétrico quando a distância for \mathbf{r}_{\mathbf{0}} / \mathbf{2} e comparar com o módulo do vetor campo elétrico para a distância \mathbf{r}_{\mathbf{o}}.
Com os dados acima construir um gráfico de módulo do vetor campo elétrico \mathbf{E} em função da distância radial \mathbf{r}.
Passo 1
O enunciado dá uma informação e faz três perguntas concretas, além de pedir um gráfico. Vou resumir claramente o que é dado e o que se pede (assim a gente não se perde no meio do desespero — tá tudo organizado).
Dado:
\text{O módulo do campo elétrico é } \mathbf{E}_0 \text{ quando a distância radial é } \mathbf{r}_0.
Perguntas:
Determinar o módulo do campo elétrico quando a distância for \mathbf{2r}_0 e comparar com \mathbf{E}_0.
Determinar o módulo do campo elétrico quando a distância for \mathbf{4r}_0 e comparar com \mathbf{E}_0.
Determinar o módulo do campo elétrico quando a distância for \mathbf{r}_0/2 e comparar com \mathbf{E}_0.
Construir o gráfico do módulo do campo elétrico \mathbf{E} em função da distância radial \mathbf{r}.
Nada mais será resolvido neste passo — só identifiquei o que foi pedido e os dados que temos.
Passo 2
Agora vamos à regra física/matemática que a questão usa: o campo elétrico de uma carga pontual segue a chamada lei do inverso do quadrado da distância. Escrevendo isso:
E(r) = k\frac{|q|}{r^{2}},
onde
E(r) é o módulo do campo elétrico à distância r da carga;
k é a constante eletrostática (por exemplo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0});
|q| é o valor absoluto da carga pontual;
r é a distância radial do ponto até a carga.
Explicando didaticamente: essa fórmula diz que, se você dobrar a distância (r\to 2r), o denominador r^2 fica quatro vezes maior ((2r)^2=4r^2), então o campo fica quatro vezes menor. Se você reduzir a distância pela metade (r\to r/2), o denominador fica (r/2)^2=r^2/4, ou seja quatro vezes menor, então o campo fica quatro vezes maior. É isso que chamamos de comportamento “inverso-quadrático”.
Passo 3
Expressão útil em função de \mathbf{E}_0 e \mathbf{r}_0: como sabemos que E(\,r_0\,)=\mathbf{E}_0, podemos escrever
\mathbf{E}_0 = k\frac{|q|}{\mathbf{r}_0^{2}}.
Isolando k|q| a partir dessa relação e substituindo na expressão geral, obtemos uma forma prática:
Comparação com \mathbf{E}_0: o campo em 2\mathbf{r}_0 é um quarto de \mathbf{E}_0. Em palavras: dobrar a distância reduz o campo para 25% do valor original.
Comparação com \mathbf{E}_0: reduzindo a distância pela metade, o campo fica quatro vezes maior.
Passo 7
Agora o gráfico E versus r. Vou te dizer exatamente como desenhar rápido na prova e o que anotar — sem desenho real, mas com todos os pontos e a forma:
Forma do gráfico: curva positiva que decresce rapidamente quando r aumenta, com comportamento proporcional a 1/r^2. Mais exatamente:
Quando r\to 0^+, E(r)\to +\infty (singularidade perto da carga).
Quando r\to +\infty, E(r)\to 0.
A curva passa pelos pontos listados e é suave (sem quebras) para r>0.
E uma dica esperta para a prova: em escala log–log, o gráfico de \log E versus \log r é uma reta de declive -2, porque \log E = \log\mathbf{E}_0 - 2\log(r/\mathbf{r}_0). Isso ajuda a checar rapidez dos números.
Resposta
E(2\mathbf{r}_0)=\dfrac{\mathbf{E}_0}{4}. E(4\mathbf{r}_0)=\dfrac{\mathbf{E}_0}{16}. E\!\left(\dfrac{\mathbf{r}_0}{2}\right)=4\mathbf{E}_0.
Gráfico: E(r)=\mathbf{E}_0\left(\dfrac{\mathbf{r}_0}{r}\right)^{2} (curva positiva decrescente com E\to\infty quando r\to0^+ e E\to0 quando r\to\infty); pontos-chave \left(\dfrac{\mathbf{r}_0}{2},4\mathbf{E}_0\right),\left(\mathbf{r}_0,\mathbf{E}_0\right),\left(2\mathbf{r}_0,\dfrac{\mathbf{E}_0}{4}\right),\left(4\mathbf{r}_0,\dfrac{\mathbf{E}_0}{16}\right).