O Sol, devido a sua grande massa, cria um forte campo gravitacional atrativo, cuja aceleração
a=1.33 \frac{10^{20}}{R^{2}}
em unidades do (SI), sendo R a distância do centro do Sol. Sabemos também que devido ao momento transportado pelo luz, ele exerce uma força repulsiva.
a) Obtenha o valor da pressão de radiação como função de R \cdot\left(1.03 \times 10^{17} / R^{2}\right)
b) Suponha uma partícula homogênea esférica de raio r e densidade igual a 800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, obtenha o valor de r para que as duas forças se igualem em módulo, de modo a se ter uma resultante nula. ( 0.73 \mu \mathrm{~m} )

Passo 1

O enunciado dá a aceleração gravitacional do Sol em função da distância R do seu centro,
a(R)=\frac{1,33\times 10^{20}}{R^{2}},
e diz que a pressão de radiação resulta do impulso da luz emitida pelo Sol. Na parte (a) queremos expressar essa pressão de radiação em função de R. Na parte (b) equilibramos a força repulsiva da pressão de radiação com a atração gravitacional sobre uma partícula esférica homogênea de densidade \rho=800\;\mathrm{kg/m^{3}} e raio r.

Passo 2

A pressão de radiação em uma distância R do Sol é dada por
P_{\rm rad}(R)=\frac{I(R)}{c},
onde I(R) é a intensidade (fluxo de energia) solar por unidade de área e c é a velocidade da luz. Como o Sol irradia luminosidade L isotropicamente,
I(R)=\frac{L}{4\pi R^{2}}.

Passo 3

Substituindo em P_{\rm rad}(R)=I/c e usando c=3{,}0\times10^{8}\,\mathrm{m/s} e L=3{,}83\times10^{26}\,\mathrm{W}, obtemos
P_{\rm rad}(R) =\frac{L}{4\pi c\,R^{2}} =\frac{3{,}83\times10^{26}}{4\pi\,(3{,}0\times10^{8})}\;\frac{1}{R^{2}} \approx\frac{1,03\times10^{17}}{R^{2}} \quad(\mathrm{Pa}).

Passo 4

Para a partícula, a força de radiação é
F_{\rm rad} =P_{\rm rad}(R)\times\sigma =P_{\rm rad}(R)\,\pi r^{2},
e a força gravitacional é
F_{\rm grav} =m\,a(R) =\biggl(\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho\biggr)\, \frac{1,33\times10^{20}}{R^{2}}.
No equilíbrio F_{\rm rad}=F_{\rm grav}, logo
\frac{1,03\times10^{17}}{R^{2}}\;\pi r^{2} =\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho\;\frac{1,33\times10^{20}}{R^{2}}.
Cancelando \pi/R^{2} de ambos os lados:

Passo 5

1,03\times10^{17} =\frac{4}{3}\,\rho\,r\,(1,33\times10^{20}) \quad\Longrightarrow\quad r =\frac{1,03\times10^{17}} {\frac{4}{3}\times800\times1,33\times10^{20}} \approx7,3\times10^{-7}\,\mathrm{m} =0,73\,\mu\mathrm{m}.

Resposta

a) \displaystyle P_{\rm rad}(R)=\frac{1,03\times10^{17}}{R^{2}}\;\mathrm{Pa}.
b) r\approx0,73\,\mu\mathrm{m}.

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