Um fio, de seção reta transversal 4,0 \mathrm{~mm}^{2} e de resistividade 1,6 \times 10^{-8} \Omega \mathrm{~m}, conduz uma corrente de 20 A . O disjuntor é desligado, fazendo com que a corrente vá a zero em 2,0 \mu \mathrm{~s}. Calcule a corrente de deslocamento produzida durante os dois microssegundos. \left(1,4 \times 10^{-12} A\right).

Passo 1

O enunciado dá uma haste de seção transversal A=4,0\times10^{-6}\,\mathrm{m}^2, resistividade \rho=1,6\times10^{-8}\,\Omega\cdot\mathrm{m}, que conduz I=20\,\mathrm A e vai a zero em \Delta t=2,0\,\mu\mathrm s. Pede a corrente de deslocamento, que pela teoria de Maxwell vem de
J_d \;=\;\varepsilon_0\,\frac{\partial E}{\partial t}
e a corrente associada é I_d=J_d\,A. Para achar E(t), usamos a lei de Ohm local E=\rho\,J com J=I/A.

Passo 2

Expressamos o campo elétrico na haste em função da corrente:
E(t) \;=\;\rho\,\frac{I(t)}{A}.

Passo 3

Derivando em relação ao tempo,
\frac{dE}{dt} =\rho\,\frac{1}{A}\,\frac{dI}{dt},
logo a densidade de corrente de deslocamento é
J_d =\varepsilon_0\,\frac{dE}{dt} =\varepsilon_0\,\rho\,\frac{1}{A}\,\frac{dI}{dt}.

Passo 4

A corrente de deslocamento total vale
I_d =J_d\,A =\varepsilon_0\,\rho\,\frac{dI}{dt}.

Passo 5

Como \Delta I=-20\,\mathrm A em \Delta t=2,0\times10^{-6}\,\mathrm s, temos
\frac{dI}{dt}\approx\frac{-20}{2{,}0\times10^{-6}} =-1{,}0\times10^{7}\,\mathrm{A/s}.
Substituindo,
I_d =(8{,}85\times10^{-12})(1{,}6\times10^{-8})(1{,}0\times10^7) \approx1{,}4\times10^{-12}\,\mathrm A.

Resposta

1,4\times10^{-12}\,\mathrm A

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