Um solenoide de 229 voltas conduz uma corrente de 1,8 \mathrm{~A}. Qual o módulo do campo magnético B (em mT) no interior do solenoide? As dimensões do solenoide são: 97,5 \mathrm{~cm} de comprimento e 3,0 \mathrm{~cm} de raio.
Expresse sua resposta com 3 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o módulo do campo magnético B no interior de um solenoide, em miliTesla (mT), com 3 casas decimais.
Dados fornecidos:
  • Número de espiras: N=229.
  • Corrente: I=1,8\\ \mathrm{A}.
  • Comprimento do solenoide: 97,5\\ \mathrm{cm}.
  • Raio do solenoide: 3,0\\ \mathrm{cm}.
  • Pedir o resultado em mT com três casas decimais.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: para um solenoide longo e uniformemente enrolado, o campo magnético no interior (eixo central) é dado pela fórmula
B = \mu_0\, n\, I,
onde:
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, cujo valor é \mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A};
  • n é o número de espiras por unidade de comprimento (espiras por metro), isto é n=\dfrac{N}{L};
  • I é a corrente elétrica em ampères.
Explicação simples: a fórmula diz que o campo cresce linearmente com o número de espiras por metro e com a corrente. A constante \mu_0 fornece as unidades corretas e o fator numérico vindo do eletromagnetismo.

Passo 3

Converter as dimensões para unidades do SI (metros):
L = 97,5\\ \mathrm{cm} = 0,975\\ \mathrm{m}, \qquad r = 3,0\\ \mathrm{cm} = 0,03\\ \mathrm{m}.
Observação rápida (justificativa do uso da fórmula): a razão L/r = \dfrac{0,975}{0,03}\approx32{,}5 é grande, ou seja, o solenoide é longo em relação ao raio, então a aproximação de solenoide longo é adequada.

Passo 4

Calcular o número de espiras por metro n:
n=\frac{N}{L}=\frac{229}{0,975}=235{,}128205128\ldots\\ \text{espiras/m}.

Passo 5

Calcular \mu_0 n. Primeiro lembrar o valor de \mu_0:
\mu_0 = 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}\approx 1{,}2566370614359173\times10^{-6}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
Agora:
\mu_0 n \approx \left(1{,}2566370614359173\times10^{-6}\right)\times 235{,}128205128 = 2{,}95563705\times10^{-4}\\ \mathrm{T/A}.

Passo 6

Multiplicar por I para obter B (em tesla):
B = \mu_0 n I \approx \left(2{,}95563705\times10^{-4}\right)\times 1{,}8 = 5{,}32014669\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.

Passo 7

Converter para miliTesla ( 1\\ \mathrm{T}=1000\\ \mathrm{mT}) e arredondar para 3 casas decimais:
B = 5{,}32014669\times10^{-4}\\ \mathrm{T} = 0{,}532014669\\ \mathrm{mT} \approx 0{,}532\\ \mathrm{mT}.

Resposta

0,532\\ \mathrm{mT}

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