Uma esfera condutora de raio
, m está uniformemente carregada, possuindo uma densidade superficial de carga igual a
Considere a permissividade elétrica do vácuo igual a
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\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} \,
\frac{\text{C}^2}{\text{N\cdotm}^2}.
Com base nessas informações, responda:
a) Determine a carga total presente na superfície da esfera.
b) Calcule o fluxo elétrico total através da superfície da esfera.
c) Determine o campo elétrico na superfície da esfera.
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\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} \,
\frac{\text{C}^2}{\text{N\cdotm}^2}.
a) Determine a carga total presente na superfície da esfera.
b) Calcule o fluxo elétrico total através da superfície da esfera.
c) Determine o campo elétrico na superfície da esfera.
Passo 1
Dados fornecidos (pegos diretamente do enunciado):
- Raio da esfera:
. - Densidade superficial de carga:
. - Permissividade do vácuo:
.
O enunciado pede:
(a) a carga total presente na superfície da esfera;
(b) o fluxo elétrico total através da superfície da esfera;
(c) o campo elétrico na superfície da esfera.
(a) a carga total presente na superfície da esfera;
(b) o fluxo elétrico total através da superfície da esfera;
(c) o campo elétrico na superfície da esfera.
Passo 2
(a) Carga total
.
Conceito e fórmula: a densidade superficial de carga
é a carga por unidade de área na superfície. Se
for uniforme, a carga total é a densidade multiplicada pela área da superfície. Para uma esfera de raio
a área é
Logo
Explicando as variáveis:
-
é a carga total (em coulombs, ); -
é a densidade de carga superficial (em ); -
é o raio da esfera (em ); -
é a constante 3,14159…
Cálculo numérico passo a passo:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 3
(b) Fluxo elétrico total
através da superfície.
Conceito e fórmula: pela Lei de Gauss, o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada que envolve a carga
é
onde
é a permissividade do vácuo. Aqui a superfície é a própria esfera e ela contém a carga
calculada anteriormente, então
.
Cálculo numérico:
Para simplificar a conta escrevemos
Calculando a razão:
logo
Arredondando:
Passo 4
(c) Campo elétrico na superfície da esfera
.
Conceito e fórmula: para uma esfera condutora com carga na superfície, o campo elétrico imediatamente fora da superfície (magnitude) é dado por
direção: radial para fora se
. Outra forma equivalente, usando a carga total, é
e as duas fórmulas são equivalentes porque
.
Cálculo numérico (usando
, que é direto):
portanto
Direção: o campo é radial e aponta para fora da esfera (assumindo carga positiva).
Passo 5
(Verificação rápida) Podemos checar consistência calculando
:
o que bate com o valor do passo 3 — portanto os resultados são consistentes.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)