Uma esfera condutora de raio R=1,22, m está uniformemente carregada, possuindo uma densidade superficial de carga igual a
\sigma=8,13 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} .
Considere a permissividade elétrica do vácuo igual a
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\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12} \,
\frac{\text{C}^2}{\text{N\cdotm}^2}.
Com base nessas informações, responda:
a) Determine a carga total presente na superfície da esfera.
b) Calcule o fluxo elétrico total através da superfície da esfera.
c) Determine o campo elétrico na superfície da esfera.

Passo 1

Dados fornecidos (pegos diretamente do enunciado):
  • Raio da esfera: R=1,22\\ \mathrm{m}.
  • Densidade superficial de carga: \sigma=8,13\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2 = 8,13\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2.
  • Permissividade do vácuo: \varepsilon_0 = 8,85\times10^{-12}\\ \dfrac{\mathrm{C}^2}{\mathrm{N\cdot m}^2}.
O enunciado pede:
(a) a carga total presente na superfície da esfera;
(b) o fluxo elétrico total através da superfície da esfera;
(c) o campo elétrico na superfície da esfera.

Passo 2

(a) Carga total Q.
Conceito e fórmula: a densidade superficial de carga \sigma é a carga por unidade de área na superfície. Se \sigma for uniforme, a carga total é a densidade multiplicada pela área da superfície. Para uma esfera de raio R a área é
A = 4\pi R^2.
Logo
Q = \sigma \, A = \sigma \, (4\pi R^2).
Explicando as variáveis:
  • Q é a carga total (em coulombs, \mathrm{C});
  • \sigma é a densidade de carga superficial (em \mathrm{C}/\mathrm{m}^2);
  • R é o raio da esfera (em \mathrm{m});
  • \pi é a constante 3,14159…
Cálculo numérico passo a passo:
R^2 = (1,22)^2 = 1,4884.
A = 4\pi R^2 = 4\pi\cdot 1,4884 \approx 18,7019\\ \mathrm{m}^2.
\sigma = 8,13\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2.
Q = \sigma A = 8,13\times10^{-6}\cdot 18,7019 \approx 1,520\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.
Arredondando para três algarismos significativos:
Q \approx 1,52\times10^{-4}\\ \mathrm{C}.

Passo 3

(b) Fluxo elétrico total \Phi através da superfície.
Conceito e fórmula: pela Lei de Gauss, o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada que envolve a carga Q_{\text{int}} é
\Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Aqui a superfície é a própria esfera e ela contém a carga Q calculada anteriormente, então Q_{\text{int}}=Q.
Cálculo numérico:
\Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0} = \frac{1,520\times10^{-4}}{8,85\times10^{-12}}.
Para simplificar a conta escrevemos
\Phi = \frac{1,520}{8,85}\times10^{8}.
Calculando a razão:
\frac{1,520}{8,85}\approx0,1717,
logo
\Phi \approx 0,1717\times10^{8} = 1,717\times10^{7}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.
Arredondando:
\Phi \approx 1,72\times10^{7}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.

Passo 4

(c) Campo elétrico na superfície da esfera E.
Conceito e fórmula: para uma esfera condutora com carga na superfície, o campo elétrico imediatamente fora da superfície (magnitude) é dado por
E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0},
direção: radial para fora se \sigma>0. Outra forma equivalente, usando a carga total, é
E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2},
e as duas fórmulas são equivalentes porque Q=4\pi R^2\sigma.
Cálculo numérico (usando \sigma/\varepsilon_0, que é direto):
E = \frac{8,13\times10^{-6}}{8,85\times10^{-12}} = \frac{8,13}{8,85}\times10^{6}.
\frac{8,13}{8,85}\approx0,9186,
portanto
E \approx 0,9186\times10^{6} = 9,19\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Direção: o campo é radial e aponta para fora da esfera (assumindo carga positiva).

Passo 5

(Verificação rápida) Podemos checar consistência calculando \Phi = E\cdot A:
E\cdot A \approx 9,19\times10^{5}\cdot 18,7019 \approx 1,72\times10^{7}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C},
o que bate com o valor do passo 3 — portanto os resultados são consistentes.

Resposta

(a) Q \approx 1,52\times10^{-4}\\ \mathrm{C}
(b) \Phi \approx 1,72\times10^{7}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}
(c) E \approx 9,19\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}

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