Na última aula sobre movimento ondulatório, foi estudado que é possível representar uma onda numa corda ou qualquer outro tipo de onda através de um fasor, que é um vetor com módulo igual a amplitude da onda e que gira em torno da origem com velocidade angular igual a frequência angular da onda. Desta forma, vamos supor que duas ondas transversais de mesma frequência e mesma velocidade são produzidas em um cabo de aço durante o içamento de cargas por um guindaste. As duas ondas tem as seguintes equações,
\begin{gathered} y_{1}(x, t)=A \sin (k x-\omega t) \\\ y_{2}(x, t)=y_{1}(x, t)=2 A \sin \left(k x-\omega t+\frac{\pi}{3}\right) \end{gathered}
onde, a frequência é 100 H z e A=1 m m. O cabo de aço, de densidade linear de 7 g / c m^{3} e diâmetro de 2 mm , foi submetido a uma tensão de 400 N . Calcule:
a) A expressão da onda resultante da superposição dessas duas ondas.
b) A potência média da onda resultante.
c) A taxa média coma qual a energia cinética é transportada.
d) A velocidade de propagação da onda resultante.
e) comprimento de onda da onda resultante.
f) Equação final da onda resultante com todos os parâmetros no SI.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Duas ondas transversais com mesmas frequência e velocidade, definidas por
y_{1}(x,t)=A\sin\!\left(kx-\omega t\right),
y_{2}(x,t)=2A\sin\!\left(kx-\omega t+\frac{\pi}{3}\right).
  • Frequência: f=100\\ \text{Hz}.
  • Amplitude base: A=1\\ \text{mm}.
  • Material do cabo: densidade (volumétrica) \rho=7\\ \text{g/cm}^3.
  • Diâmetro do cabo: d=2\\ \text{mm}.
  • Tensão no cabo: T=400\\ \text{N}.
O enunciado pede:
a) expressão da onda resultante da superposição (forma fechada, amplitude e fase resultantes);
b) potência média da onda resultante;
c) taxa média com que a energia cinética é transportada (ou seja, potência média associada à energia cinética transportada);
d) velocidade de propagação da onda resultante;
e) comprimento de onda da onda resultante;
f) equação final da onda resultante com todos os parâmetros no SI.
Observações que vou usar (sem resolver ainda): as duas ondas têm mesma argumentação kx-\omega t salvo a fase \pi/3 na segunda; as grandezas físicas do cabo permitem calcular a densidade linear \mu e então a velocidade v=\sqrt{T/\mu}. A superposição de duas senóides com mesma frequência pode ser feita por soma vetorial (fasores) levando a uma única senóide de amplitude e fase resultantes.

Passo 2

Converto todos os dados para unidades SI e calculo a densidade linear do cabo \mu (massa por comprimento), pois ela aparece nas fórmulas de velocidade e potência.
  • Amplitude:
A=1\\ \text{mm}=1\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Densidade volumétrica: \rho=7\\ \text{g/cm}^3 = 7\times10^{3}\\ \text{kg/m}^3 (multipliquei por 10^{3} para passar de g/cm³ para kg/m³).
  • Diâmetro: d=2\\ \text{mm}=2\times10^{-3}\\ \text{m}. Raio r=\dfrac{d}{2}=1\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Área da secção transversal:
S=\pi r^{2}=\pi (1\times10^{-3})^{2}=\pi\times10^{-6}\\ \text{m}^2.
  • Densidade linear (massa por comprimento):
\mu=\rho S = (7\times10^{3})\cdot(\pi\times10^{-6})=0,007\pi\\ \text{kg/m}\approx0,02199115\\ \text{kg/m}.
  • Frequência angular:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot100=200\pi\\ \text{rad/s}\approx628,319\\ \text{rad/s}.
Anotações: calculos acima são todos em SI; \mu será usado para v e potência.

Passo 3

Faço a soma das duas senóides por método dos fasores (ou fórmula de soma de senos com fase). Chamo \theta=kx-\omega t. Temos
y_{1}=A\sin\theta,\qquad y_{2}=2A\sin(\theta+\delta),
com \delta=\dfrac{\pi}{3}.
Queremos y=y_{1}+y_{2}=A\sin\theta+2A\sin(\theta+\delta). A soma de duas senóides de mesma frequência pode ser escrita como uma única senóide:
y=R\sin(\theta+\varphi),
onde R (amplitude resultante) e \varphi (fase resultante) satisfazem (fórmulas padrão da soma vetorial de amplitudes):
R^{2}=A^{2}+(2A)^{2}+2\cdot A\cdot 2A\cos\delta,
\tan\varphi=\frac{(2A)\sin\delta}{A+(2A)\cos\delta}.
Explico rápido por que: trata-se de somar vetores no plano complexo (ou decompor em sen e cos). As fórmulas acima vêm de expandir e igualar coeficientes de \sin\theta e \cos\theta.

Passo 4

Calculo R e \varphi numericamente e, quando possível, em forma simples.
  • Cálculo de R^{2}:
R^{2}=A^{2}+4A^{2}+4A^{2}\cos\delta=A^{2}(1+4+4\cos\delta).
Como \cos\delta=\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}, obtemos
R^{2}=A^{2}(1+4+4\times\tfrac{1}{2})=A^{2}(5+2)=7A^{2}.
Logo
R=\sqrt{7}\,A.
Com A=1\times10^{-3}\\ \text{m},
R=\sqrt{7}\times10^{-3}\\ \text{m}\approx2,6458\times10^{-3}\\ \text{m}.
  • Cálculo de \varphi:
\tan\varphi=\frac{2A\sin\delta}{A+2A\cos\delta}=\frac{2\sin(\pi/3)}{1+2\cos(\pi/3)}.
Como \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2},
\tan\varphi=\frac{2\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{1+2\cdot\tfrac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto
\varphi=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\approx0,71372\\ \text{rad}\approx40,89^\circ.
Observação: pode manter \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) como forma exata.
  • Conclusão parcial (forma simbólica):
y(x,t)=R\sin\!\big(kx-\omega t+\varphi\big),
com R=\sqrt{7}\,A e \varphi=\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 5

Calculo a velocidade de propagação v, o número de onda k e o comprimento de onda \lambda.
  • Velocidade de propagação numa corda em tensão:
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Substituindo T=400\\ \text{N} e \mu\approx0,02199115\\ \text{kg/m},
v=\sqrt{\frac{400}{0,02199115}}\approx134,886\\ \text{m/s}.
  • Comprimento de onda:
\lambda=\frac{v}{f}=\frac{134,886}{100}\approx1,34886\\ \text{m}.
  • Número de onda k (relação com \omega e v):
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{\omega}{v}=\frac{200\pi}{134,886}\approx4,657\\ \text{rad/m}.

Passo 6

Derivo a expressão para a potência média transportada por uma onda senoidal numa corda e calculo o valor numérico usando a amplitude resultante R.
  • Fórmula (derivação curta): para uma onda transversal y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) a potência instantânea que atravessa uma seção é P(t)=-T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right). Substituindo e fazendo a média temporal, obtém-se a potência média
\overline{P}=\frac{1}{2}\,T k \omega A^{2}.
Usando T=\mu v^{2} e k=\omega/v essa expressão é equivalente e frequentemente mais prática:
\overline{P}=\frac{1}{2}\,\mu v \omega^{2} A^{2}.
No nosso caso devemos usar a amplitude resultante R, então
\overline{P}=\frac{1}{2}\,\mu v \omega^{2} R^{2}.
  • Substituo os valores numéricos (uso R^{2}=7A^{2}=7\times(1\times10^{-3})^{2}=7\times10^{-6}\\ \text{m}^{2}):
\omega^{2}R^{2}=(200\pi)^{2}\cdot7\times10^{-6}\approx394784{,}176\cdot7\times10^{-6}=2{,}763489232.
\frac{1}{2}\mu v\approx\frac{1}{2}\times0,02199115\times134{,}886\approx1{,}48303.
Multiplicando,
\overline{P}\approx1{,}48303\times2{,}763489232\approx4{,}098\\ \text{W}.
Arredondando razoavelmente,
\overline{P}\approx4{,}10\\ \text{W}.

Passo 7

Calculo a taxa média com que a energia cinética é transportada (parte c).
  • Em uma onda senoidal viajante, a energia total transportada se divide igualmente entre energia cinética e potencial (média temporal). Portanto a potência média associada somente à energia cinética é metade da potência média total:
\overline{P}_{\text{cin}}=\frac{1}{2}\,\overline{P}.
Usando \overline{P}\approx4{,}098\\ \text{W},
\overline{P}_{\text{cin}}\approx2{,}049\\ \text{W}\approx2{,}05\\ \text{W}.

Passo 8

Resumo final da equação da onda resultante com todos os parâmetros numéricos em SI (parte f), mostrando claramente R, k, \omega e \varphi.
  • Valores usados:
R=\sqrt{7}\,A\approx2{,}6458\times10^{-3}\\ \text{m},
k\approx4{,}657\\ \text{rad/m},
\omega=200\pi\\ \text{rad/s}\approx628{,}319\\ \text{rad/s},
\varphi=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\approx0{,}71372\\ \text{rad}.
  • Equação numérica final (SI):
y(x,t)=2{,}6458\times10^{-3}\;\sin\!\big(4{,}657\,x-628{,}319\,t+0{,}71372\big)\quad\text{(metros)}.

Resposta

a) y(x,t)=\sqrt{7}\,A\sin\!\big(kx-\omega t+\arctan\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\big), com \sqrt{7}\,A\approx2{,}6458\times10^{-3}\\ \text{m} e \varphi=\arctan\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\approx0{,}71372\\ \text{rad}.
b) Potência média da onda resultante: \overline{P}\approx4{,}10\\ \text{W}.
c) Taxa média com que a energia cinética é transportada: \overline{P}_{\text{cin}}=\dfrac{\overline{P}}{2}\approx2{,}05\\ \text{W}.
d) Velocidade de propagação da onda resultante: v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\approx134{,}886\\ \text{m/s}.
e) Comprimento de onda da onda resultante: \lambda=\dfrac{v}{f}\approx1{,}34886\\ \text{m}.
f) Equação final em SI:
y(x,t)=2{,}6458\times10^{-3}\sin\!\big(4{,}657\,x-628{,}319\,t+0{,}71372\big)\\ \text{(m)}.

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