Na última aula sobre movimento ondulatório, foi estudado que é possível representar uma onda numa corda ou qualquer outro tipo de onda através de um fasor, que é um vetor com módulo igual a amplitude da onda e que gira em torno da origem com velocidade angular igual a frequência angular da onda. Desta forma, vamos supor que duas ondas transversais de mesma frequência e mesma velocidade são produzidas em um cabo de aço durante o içamento de cargas por um guindaste. As duas ondas tem as seguintes equações,
onde, a frequência é 100 H z e A=1 m m. O cabo de aço, de densidade linear de 7 g / c m^{3} e diâmetro de 2 mm , foi submetido a uma tensão de 400 N . Calcule:
a) A expressão da onda resultante da superposição dessas duas ondas.
b) A potência média da onda resultante.
c) A taxa média coma qual a energia cinética é transportada.
d) A velocidade de propagação da onda resultante.
e) comprimento de onda da onda resultante.
f) Equação final da onda resultante com todos os parâmetros no SI.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Duas ondas transversais com mesmas frequência e velocidade, definidas por
Material do cabo: densidade (volumétrica) \rho=7\\ \text{g/cm}^3.
Diâmetro do cabo: d=2\\ \text{mm}.
Tensão no cabo: T=400\\ \text{N}.
O enunciado pede:
a) expressão da onda resultante da superposição (forma fechada, amplitude e fase resultantes);
b) potência média da onda resultante;
c) taxa média com que a energia cinética é transportada (ou seja, potência média associada à energia cinética transportada);
d) velocidade de propagação da onda resultante;
e) comprimento de onda da onda resultante;
f) equação final da onda resultante com todos os parâmetros no SI.
Observações que vou usar (sem resolver ainda): as duas ondas têm mesma argumentação kx-\omega t salvo a fase \pi/3 na segunda; as grandezas físicas do cabo permitem calcular a densidade linear \mu e então a velocidade v=\sqrt{T/\mu}. A superposição de duas senóides com mesma frequência pode ser feita por soma vetorial (fasores) levando a uma única senóide de amplitude e fase resultantes.
Passo 2
Converto todos os dados para unidades SI e calculo a densidade linear do cabo \mu (massa por comprimento), pois ela aparece nas fórmulas de velocidade e potência.
Amplitude:
A=1\\ \text{mm}=1\times10^{-3}\\ \text{m}.
Densidade volumétrica: \rho=7\\ \text{g/cm}^3 = 7\times10^{3}\\ \text{kg/m}^3 (multipliquei por 10^{3} para passar de g/cm³ para kg/m³).
Diâmetro: d=2\\ \text{mm}=2\times10^{-3}\\ \text{m}. Raio r=\dfrac{d}{2}=1\times10^{-3}\\ \text{m}.
Explico rápido por que: trata-se de somar vetores no plano complexo (ou decompor em sen e cos). As fórmulas acima vêm de expandir e igualar coeficientes de \sin\theta e \cos\theta.
Passo 4
Calculo R e \varphi numericamente e, quando possível, em forma simples.
Derivo a expressão para a potência média transportada por uma onda senoidal numa corda e calculo o valor numérico usando a amplitude resultante R.
Fórmula (derivação curta): para uma onda transversal y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) a potência instantânea que atravessa uma seção é P(t)=-T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right). Substituindo e fazendo a média temporal, obtém-se a potência média
\overline{P}=\frac{1}{2}\,T k \omega A^{2}.
Usando T=\mu v^{2} e k=\omega/v essa expressão é equivalente e frequentemente mais prática:
\overline{P}=\frac{1}{2}\,\mu v \omega^{2} A^{2}.
No nosso caso devemos usar a amplitude resultante R, então
\overline{P}=\frac{1}{2}\,\mu v \omega^{2} R^{2}.
Substituo os valores numéricos (uso R^{2}=7A^{2}=7\times(1\times10^{-3})^{2}=7\times10^{-6}\\ \text{m}^{2}):
Calculo a taxa média com que a energia cinética é transportada (parte c).
Em uma onda senoidal viajante, a energia total transportada se divide igualmente entre energia cinética e potencial (média temporal). Portanto a potência média associada somente à energia cinética é metade da potência média total:
a) y(x,t)=\sqrt{7}\,A\sin\!\big(kx-\omega t+\arctan\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\big), com \sqrt{7}\,A\approx2{,}6458\times10^{-3}\\ \text{m} e \varphi=\arctan\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big)\approx0{,}71372\\ \text{rad}.
b) Potência média da onda resultante: \overline{P}\approx4{,}10\\ \text{W}.
c) Taxa média com que a energia cinética é transportada: \overline{P}_{\text{cin}}=\dfrac{\overline{P}}{2}\approx2{,}05\\ \text{W}.
d) Velocidade de propagação da onda resultante: v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\approx134{,}886\\ \text{m/s}.
e) Comprimento de onda da onda resultante: \lambda=\dfrac{v}{f}\approx1{,}34886\\ \text{m}.