2.98 A particular inverting amplifier with nominal gain of -100 \mathrm{~V} / \mathrm{V} uses an imperfect op amp in conjunction with 100-\mathrm{k} \Omega and 10-\mathrm{M} \Omega resistors. The output voltage is found to be +5.3 V when measured with the input open and +5 V with the input grounded.
(a) What is the bias current of this amplifier? In what direction does it flow?
(a) \mathrm{I}_{-}=0,53 \mu \mathrm{~A} (entrando)
(b) Estimate the value of the input offset voltage.
(b) \mathrm{V}_{\mathrm{OS}}=-3 \mathrm{mV}
(c) A 10- \mathrm{M} \Omega resistor is connected between the positive-input terminal and ground. With the input left floating (disconnected), the output dc voltage is measured to be -0.6 V . Estimate the input offset current.
(c) 60 nA

Passo 1

O enunciado dá um amplificador inversor com ganho nominal -100\\ \mathrm{V/V} usando resistores de \;R_1=100\\ \mathrm{k}\Omega (entrada) e \;R_f=10\\ \mathrm{M}\Omega (realimentação). O professor mediu duas situações iniciais e pediu (a), (b) e (c):
  • Medidas dadas:
    • Saída com a entrada aberta: \;V_{\text{out,open}}=+5{,}3\\ \mathrm{V}.
    • Saída com a entrada aterrada: \;V_{\text{out,ground}}=+5{,}0\\ \mathrm{V}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular a corrente de polarização no terminal negativo ( \;I_-) e dizer sua direção (entrando ou saindo do terminal).
    (b) Estimar a tensão de offset de entrada \;V_{\mathrm{OS}}.
    (c) Após conectar um resistor \;R_b=10\\ \mathrm{M}\Omega entre a entrada não-inversora e o terra, com a entrada deixada flutuante a saída passa a \;V_{\text{out}}=-0{,}6\\ \mathrm{V}. Estimar a corrente de offset de entrada \;I_{\mathrm{OS}}=|I_+ - I_-|.

Passo 2

Modelo e equações básicas (aulas rápidas e intuitivas).
  • Conceitos:
    • \;I_- e \;I_+ são as correntes de polarização que entram (se positivas) nos terminais - e + do amp-op.
    • \;V_{\mathrm{OS}} é uma pequena tensão em série com a entrada positiva que faz com que, no circuito real, V_- = V_+ + V_{\mathrm{OS}} na condição de malha fechada (é uma forma padrão de modelar o offset).
  • Para o amplificador inversor com \;R_1 e \;R_f e com a entrada não-inversora aterrada:
    • Quando a entrada está aterrada ( V_{\text{in}}=0) há corrente por R_1 e R_f. Fazendo KCL no nó inversor (tendo corrente de polarização \;I_- entrando no chip) e usando V_- = V_+ + V_{\mathrm{OS}} = 0 + V_{\mathrm{OS}}, obtemos a expressão (coloquei só as contas essenciais):
    V_{\text{out,ground}} = (1+\tfrac{R_f}{R_1})\,V_{\mathrm{OS}} + R_f\,I_-.Explicação rápida: o termo (1+R_f/R_1)V_{\mathrm{OS}} é a contribuição do offset ao ganho em malha, e R_f I_- vem da queda de tensão causada pela corrente que entra no nó inversor e é desviada por R_f.
    • Quando a entrada está aberta, não há caminho para corrente por R_1 (a outra extremidade está flutuando), logo a corrente por R_1 é zero. Fazendo KCL no nó inversor e usando V_- = V_+ + V_{\mathrm{OS}} = 0 + V_{\mathrm{OS}}, obtemos
    V_{\text{out,open}} = V_{\mathrm{OS}} + R_f\,I_-.Observação: a diferença entre as duas medidas elimina a contribuição de R_f I_- e assim isola V_{\mathrm{OS}}, porque a parte com R_f I_- aparece nas duas expressões.

Passo 3

Usar as duas equações para achar \;V_{\mathrm{OS}}.
  • Subtraindo as equações:
V_{\text{out,ground}} - V_{\text{out,open}} = \bigl(1+\tfrac{R_f}{R_1}\bigr)V_{\mathrm{OS}} + R_f I_- - \bigl(V_{\mathrm{OS}} + R_f I_-\bigr) = \frac{R_f}{R_1}\,V_{\mathrm{OS}}.
  • Isolando V_{\mathrm{OS}}:
V_{\mathrm{OS}} = \frac{R_1}{R_f}\,\bigl(V_{\text{out,ground}} - V_{\text{out,open}}\bigr).
  • Substituindo números ( R_1=100\\ \mathrm{k}\Omega, R_f=10\\ \mathrm{M}\Omega, V_{\text{out,ground}}=+5{,}0\\ \mathrm{V}, V_{\text{out,open}}=+5{,}3\\ \mathrm{V}):
V_{\mathrm{OS}} = \frac{100\times10^3}{10\times10^6}\,(5{,}0 - 5{,}3)\\ \mathrm{V} = \frac{100e3}{10e6}\,(-0{,}3)\\ \mathrm{V} = 0{,}01\cdot(-0{,}3)\\ \mathrm{V} = -0{,}003\\ \mathrm{V}.
  • Resultado: \;V_{\mathrm{OS}} = -3{,}0\\ \mathrm{mV}.

Passo 4

Calcular \;I_- usando a equação do caso com entrada aberta.
  • A equação para entrada aberta era:
V_{\text{out,open}} = V_{\mathrm{OS}} + R_f\,I_-.
  • Isolando I_-:
I_- = \frac{V_{\text{out,open}} - V_{\mathrm{OS}}}{R_f}.
  • Substituindo valores ( V_{\text{out,open}}=5{,}3\\ \mathrm{V}, V_{\mathrm{OS}}=-0{,}003\\ \mathrm{V}, R_f=10\\ \mathrm{M}\Omega):
I_- = \frac{5{,}3 - (-0{,}003)}{10\times10^6}\\ \mathrm{A} = \frac{5{,}303}{10e6}\\ \mathrm{A} = 5{,}303\times10^{-7}\\ \mathrm{A}.
  • Em unidades mais usuais:
I_- \approx 0{,}5303\\ \mu\mathrm{A}\approx 0{,}53\\ \mu\mathrm{A}.
  • Interpretação de sinal: obtivemos I_- positivo pelo nosso convenio (corrente positiva entrando no terminal). Então a corrente de polarização no terminal negativo está entrando no amplificador.

Passo 5

Resumo dos itens (a) e (b) com interpretação física rápida.
  • (b) Já achamos: \;V_{\mathrm{OS}}=-3{,}0\\ \mathrm{mV}. Signo negativo indica que a entrada negativa precisa ser \;3\\ \mathrm{mV} maior que a positiva para zerar a saída no laço.
  • (a) \;I_-\approx 0{,}53\\ \mu\mathrm{A}, e a direção é entrando no terminal negativo (isto é, corrente do nó para dentro do chip).

Passo 6

Resolver (c): com \;R_b=10\\ \mathrm{M}\Omega do terminal positivo ao terra, entrada flutuante e saída medida \;V_{\text{out}}=-0{,}6\\ \mathrm{V}. Estimar I_{\mathrm{OS}}=|I_+ - I_-|.
  • Montagem mental: agora o terminal + não está diretamente aterrada, tem \;R_b até o terra. Fazendo KCL no nó + (assumindo corrente I_+ entrando no op-amp), que é conectado a terra por R_b, temos
\frac{V_+ - 0}{R_b} + I_+ = 0 \quad\Rightarrow\quad V_+ = -R_b\,I_+.
  • Relação entre nós com o offset: V_- = V_+ + V_{\mathrm{OS}} = -R_b I_+ + V_{\mathrm{OS}}.
  • No caso de entrada flutuante, não há corrente por R_1 (o outro terminal de R_1 está aberto), portanto KCL no nó inversor reduz a
\frac{V_- - V_{\text{out}}}{R_f} + I_- = 0 \quad\Rightarrow\quad V_{\text{out}} = V_- + R_f I_-.
  • Substituindo V_-:
V_{\text{out}} = V_{\mathrm{OS}} - R_b I_+ + R_f I_-.
  • Agora isole I_+:
-R_b I_+ = V_{\text{out}} - V_{\mathrm{OS}} - R_f I_- \quad\Rightarrow\quad I_+ = \frac{V_{\mathrm{OS}} + R_f I_- - V_{\text{out}}}{R_b}.
  • Substituir valores conhecidos: V_{\mathrm{OS}}=-0{,}003\\ \mathrm{V}, R_f I_- = 10\times10^6 \times 5{,}303\times10^{-7}\\ \mathrm{A} = 5{,}303\\ \mathrm{V}, V_{\text{out}}=-0{,}6\\ \mathrm{V}, R_b=10\\ \mathrm{M}\Omega:
I_+ = \frac{-0{,}003 + 5{,}303 - (-0{,}6)}{10\times10^6}\\ \mathrm{A} = \frac{5{,}300 + 0{,}6}{10e6}\\ \mathrm{A} = \frac{5{,}900}{10e6}\\ \mathrm{A} = 5{,}9\times10^{-7}\\ \mathrm{A}.
  • Assim I_+ \approx 0{,}59\\ \mu\mathrm{A} (positivo significa entrando no terminal positivo).
  • Finalmente o corrente de offset de entrada:
I_{\mathrm{OS}} = |I_+ - I_-| = |0{,}59 - 0{,}5303|\\ \mu\mathrm{A} \approx 0{,}0597\\ \mu\mathrm{A} \approx 59{,}7\\ \mathrm{nA}.
  • Arredondando de modo conveniente: \;I_{\mathrm{OS}}\approx 60\\ \mathrm{nA}.

Resposta

(a) \;I_{-}=0{,}53\\ \mu\mathrm{A} (entrando)
(b) \;V_{\mathrm{OS}}=-3{,}0\\ \mathrm{mV}
(c) \;I_{\mathrm{OS}}=60\\ \mathrm{nA}

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