Um solenóide longo tem um raio de 6 cm. Quando o solenóide é percorrido por uma corrente i, um campo magnético de módulo B é produzido no seu interior. Através da diminuição da corrente i, o campo magnético é reduzido a uma taxa de 6 \mathrm{mT} / \mathrm{s}. Determine o módulo do campo elétrico induzido a 2 cm de distância do eixo do solenoide.
Passo 1
O enunciado dá um solenóide longo de raio 6\\ \text{cm}. Quando uma corrente i percorre o solenóide, cria-se um campo magnético de módulo B no interior. A corrente é diminuída de modo que o campo magnético é reduzido à taxa de 6\\ \text{mT/s}. A pergunta é: qual o módulo do campo elétrico induzido a 2\\ \text{cm} do eixo do solenóide? \n\nInformações relevantes dadas no enunciado:\n- Raio do solenóide: 6\\ \text{cm} (ou seja, R=0,06\\ \text{m}).\n- Ponto onde queremos E: distância ao eixo r=2\\ \text{cm} (ou seja, r=0,02\\ \text{m}).\n- Taxa de variação do campo magnético: redução de 6\\ \text{mT/s}, ou seja \dfrac{dB}{dt} = -6\times 10^{-3}\\ \text{T/s} (o sinal negativo indica que B está diminuindo).\n- O campo magnético é uniforme no interior do solenóide (informação implícita em “um campo magnético de módulo B é produzido no seu interior”).\n\nO que se pede:\n- Determinar o módulo |\mathbf{E}| do campo elétrico induzido no ponto a r=0,02\\ \text{m}.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (enunciado e significado das grandezas).\n\nUsamos a lei de Faraday para a indução eletromagnética, que diz que a circulação do campo elétrico ao longo de um caminho fechado é igual à variação negativa do fluxo magnético através da superfície limitada por esse caminho. Em fórmula de integral de linha:\n\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}.\n\nAqui:\n- \mathcal{C} é uma curva fechada (o contorno do laço onde calculamos a integral).\n- \mathbf{E} é o campo elétrico induzido (vetor) ao longo da curva.\n- d\mathbf{l} é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva, orientado segundo a circulação.\n- \Phi_B é o fluxo magnético através da superfície S limitada por \mathcal{C}, definido por \Phi_B = \int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.\n\nVou explicar com calma: o fluxo magnético \Phi_B é basicamente “quantas linhas de \mathbf{B}” atravessam uma área. Se \mathbf{B} varia no tempo, o fluxo varia, e isso gera um campo elétrico que circula em torno da região onde \mathbf{B} muda.
Passo 3
Escolha do caminho de integração e simetria.\n\nPorque o solenóide é longo e o campo B dentro é praticamente uniforme e paralelo ao eixo, e fora é (aproximadamente) zero, o campo elétrico induzido terá simetria circular ao redor do eixo do solenóide: linhas de campo elétrico são círculos concêntricos com o eixo. Então escolhemos como curva \mathcal{C} um círculo de raio r centrado no eixo do solenóide. Nesse caso o módulo de \mathbf{E} ao longo do círculo é constante e tangente, logo a integral de linha simplifica para:\n\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = E(r)\cdot (2\pi r),\nonde E(r) é o módulo do campo elétrico induzido a distância r do eixo.
Passo 4
Expressão do fluxo magnético através do círculo para r dentro do solenóide (r<R).\n\nPara um círculo de raio r que está inteiramente dentro do interior do solenóide, o fluxo magnético é simplesmente B vezes a área do círculo, porque \mathbf{B} é uniforme e perpendicular à área. Assim:\n\Phi_B = B(t)\cdot \text{área} = B(t)\cdot \pi r^{2}.\n\nAqui explico as variáveis: B(t) é o valor do campo magnético no interior, que depende do tempo porque a corrente varia; r é o raio do laço (no nosso problema r=0,02\\ \text{m}).
Passo 5
Aplicando a lei de Faraday e isolando E(r).\n\nA lei de Faraday dá:\n\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt}\bigl(B(t)\pi r^{2}\bigr).\nComo \pi r^{2} é constante (o laço tem raio fixo), obtemos:\n\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\pi r^{2}\,\frac{dB}{dt}.\nPelo passo anterior a integral de linha é E(r)\cdot 2\pi r. Logo:\nE(r)\cdot 2\pi r = -\pi r^{2}\,\frac{dB}{dt}.\nCancelando \pi e um fator r (assumindo r\neq 0):\nE(r) = -\frac{r}{2}\,\frac{dB}{dt}.\nIsto é uma fórmula importante: para um ponto dentro do solenóide (r<R), o módulo do campo elétrico induzido vale\n|\mathbf{E}(r)| = \frac{r}{2}\left|\frac{dB}{dt}\right|.\nExplicação do sinal: o sinal negativo na fórmula original dá a orientação da circulação (direção do campo elétrico), de acordo com a lei de Lenz; como o enunciado pediu o módulo, usamos o valor absoluto de \dfrac{dB}{dt}.
Passo 6
Aplicando números do problema.\n\nPrimeiro converto as unidades dadas:\n- taxa de diminuição 6\\ \text{mT/s} = 6\times 10^{-3}\\ \text{T/s}. Como o campo diminui, \dfrac{dB}{dt} = -6\times 10^{-3}\\ \text{T/s}, então \left|\dfrac{dB}{dt}\right| = 6\times 10^{-3}\\ \text{T/s}.\n- queremos E em r=2\\ \text{cm} = 0,02\\ \text{m}.\n\nAgora uso a fórmula obtida:\n|\mathbf{E}(r)| = \frac{r}{2}\left|\frac{dB}{dt}\right|.\nSubstituindo os valores:\n|\mathbf{E}(0,02)| = \frac{0,02}{2}\cdot 6\times 10^{-3}\\ \text{V/m}.\nCalculo passo a passo:\n\frac{0,02}{2} = 0,01,\n0,01\cdot 6\times 10^{-3} = 6\times 10^{-5}.\nLogo o módulo do campo elétrico induzido é \;6\times 10^{-5}\\ \text{V/m}.
Passo 7
Interpretação física rápida e encorajamento.\n\nO valor é muito pequeno, porque a taxa de variação do campo é pequena e estamos a uma curta distância do eixo; ainda assim existe um campo elétrico que circula em torno do eixo, no sentido tal que a corrente induzida tenderia a produzir um campo magnético que se opõe à diminuição do campo original (lei de Lenz). Você foi bem em pedir passo a passo — essa é a forma típica de resolver questões de indução num exame: usar simetria, escrever a lei de Faraday, calcular fluxo e isolar E. Continua firme, você tá indo bem!