2.5 pontos Um projétil de massa m=20,0 \mathrm{~g} é atirado horizontalmente com velocidade v_{0} contra um pĕndulo vertical cuja massa pendular é M=2 \mathrm{~kg} e de fácil penetraçāo. O projétil aloja-se no pêndulo e, devido ao choque, o conjunto sobe até a altura h=20 \mathrm{~cm}. Adote g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e determine a velocidade inicial do projétil.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a velocidade inicial do projétil:
  • Massa do projétil: m = 20{,}0\\ \mathrm{g}.
  • Massa do pêndulo (corpo que recebe o projétil): M = 2\\ \mathrm{kg}.
  • Depois do choque, o projétil fica alojado no pêndulo (choque totalmente inelástico) e o conjunto sobe até a altura h = 20\\ \mathrm{cm}.
  • Aceleração da gravidade: g = 10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O que se pede: a velocidade inicial v_{0} do projétil antes do choque.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Como o projétil fica alojado no pêndulo, o choque é inelástico: momento linear na direção horizontal é conservado durante o impacto, mas a energia cinética não é conservada no choque.
  • Após o choque, o conjunto (massa M+m) transforma sua energia cinética em energia potencial gravitacional ao subir até altura h; nessa fase (subida), podemos usar conservação de energia mecânica (se desprezarmos atrito).

Passo 2

Primeiro passo técnico: converter unidades para o SI.
  • m = 20{,}0\\ \mathrm{g} = 0{,}020\\ \mathrm{kg}. (dividimos por 1000)
  • h = 20\\ \mathrm{cm} = 0{,}20\\ \mathrm{m}. (dividimos por 100)

Passo 3

Aplicar conservação do momento linear durante o choque (apenas na direção horizontal). Vou explicar a ideia: o impulso externo durante o impacto na direção horizontal é desprezível (forças externas como peso e reação do suporte atuam por tempo muito maior), então a soma das quantidades de movimento antes do choque é igual à soma após o choque.
Se o projétil tem velocidade inicial v_{0} e o pêndulo está inicialmente em repouso, então antes do choque o momento total horizontal é m v_{0}. Depois do choque o conjunto massa total M+m move-se com velocidade v' imediatamente após o impacto. Assim:
m v_{0} = (M+m)\, v'.
Desse modo, isolando v',
v' = \frac{m}{M+m}\; v_{0}.
Aqui: v' é a velocidade do conjunto imediatamente após o choque.

Passo 4

Agora consideramos a subida do conjunto até a altura h. Vou explicar a ideia física: durante a subida a energia cinética do conjunto é convertida em energia potencial gravitacional. Não há (no problema idealizado) perda de energia além das transformações mecânicas, então podemos aplicar conservação de energia mecânica entre o instante imediatamente após o choque (quando velocidade é v') e o ponto mais alto (velocidade zero).
Energia cinética inicial do conjunto:
E_{c} = \frac{1}{2}(M+m)\, v'^{2}.
Energia potencial no ponto mais alto:
E_{p} = (M+m)\, g\, h.
Conservação de energia (cinética vira potencial):
\frac{1}{2}(M+m)\, v'^{2} = (M+m)\, g\, h.
Podemos simplificar dividindo por (M+m) (não nulo), obtendo:
\frac{1}{2} v'^{2} = g h.
Logo,
v'^{2} = 2 g h
e
v' = \sqrt{2 g h}.

Passo 5

Calcule v' numericamente usando g = 10\\ \mathrm{m/s^{2}} e h = 0{,}20\\ \mathrm{m}. Vou mostrar as operações passo a passo:
v' = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}20}.
Calcule o produto dentro da raiz:
2 \cdot 10 \cdot 0{,}20 = 4.
Portanto
v' = \sqrt{4} = 2\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora voltamos à equação do Passo 3 que relaciona v' com v_{0}:
v' = \frac{m}{M+m}\; v_{0}.
Isolando v_{0},
v_{0} = v' \cdot \frac{M+m}{m}.
Vou explicar: multiplicamos ambos os lados por (M+m)/m para obter v_{0}.

Passo 7

Substituir os valores numéricos: v' = 2\\ \mathrm{m/s}, M = 2\\ \mathrm{kg}, m = 0{,}020\\ \mathrm{kg}. Primeiro calcule M+m:
M+m = 2 + 0{,}020 = 2{,}020\\ \mathrm{kg}.
Agora a razão \dfrac{M+m}{m}:
\frac{M+m}{m} = \frac{2{,}020}{0{,}020}.
Para facilitar: dividir por 0{,}020 é multiplicar por 50, mas vou calcular diretamente:
\frac{2{,}020}{0{,}020} = 101.
Logo,
v_{0} = 2 \cdot 101 = 202\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Verificação rápida de plausibilidade (rápida e intuitiva): o projétil é muito mais leve que o pêndulo ( 0{,}02\\ \mathrm{kg} contra 2{,}0\\ \mathrm{kg}), então para imprimir 2\\ \mathrm{m/s} ao conjunto o projétil precisa de uma velocidade bem maior. O fator (M+m)/m \approx 101 é grande, então v_{0} sair como algumas centenas de metros por segundo faz sentido fisicamente.

Resposta

202\\ \mathrm{m/s}

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