2.5 pontos Um projétil de massa
é atirado horizontalmente com velocidade
contra um pĕndulo vertical cuja massa pendular é
e de fácil penetraçāo. O projétil aloja-se no pêndulo e, devido ao choque, o conjunto sobe até a altura
. Adote
e determine a velocidade inicial do projétil.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a velocidade inicial do projétil:
- Massa do projétil:
. - Massa do pêndulo (corpo que recebe o projétil):
. - Depois do choque, o projétil fica alojado no pêndulo (choque totalmente inelástico) e o conjunto sobe até a altura
. - Aceleração da gravidade:
. - O que se pede: a velocidade inicial
do projétil antes do choque.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Como o projétil fica alojado no pêndulo, o choque é inelástico: momento linear na direção horizontal é conservado durante o impacto, mas a energia cinética não é conservada no choque.
- Após o choque, o conjunto (massa
) transforma sua energia cinética em energia potencial gravitacional ao subir até altura ; nessa fase (subida), podemos usar conservação de energia mecânica (se desprezarmos atrito).
Passo 2
Primeiro passo técnico: converter unidades para o SI.
-
. (dividimos por ) -
. (dividimos por )
Passo 3
Aplicar conservação do momento linear durante o choque (apenas na direção horizontal). Vou explicar a ideia: o impulso externo durante o impacto na direção horizontal é desprezível (forças externas como peso e reação do suporte atuam por tempo muito maior), então a soma das quantidades de movimento antes do choque é igual à soma após o choque.
Se o projétil tem velocidade inicial
e o pêndulo está inicialmente em repouso, então antes do choque o momento total horizontal é
. Depois do choque o conjunto massa total
move-se com velocidade
imediatamente após o impacto. Assim:
Desse modo, isolando
,
Aqui:
é a velocidade do conjunto imediatamente após o choque.
Passo 4
Agora consideramos a subida do conjunto até a altura
. Vou explicar a ideia física: durante a subida a energia cinética do conjunto é convertida em energia potencial gravitacional. Não há (no problema idealizado) perda de energia além das transformações mecânicas, então podemos aplicar conservação de energia mecânica entre o instante imediatamente após o choque (quando velocidade é
) e o ponto mais alto (velocidade zero).
Energia cinética inicial do conjunto:
Energia potencial no ponto mais alto:
Conservação de energia (cinética vira potencial):
Podemos simplificar dividindo por
(não nulo), obtendo:
Logo,
e
Passo 5
Calcule
numericamente usando
e
. Vou mostrar as operações passo a passo:
Calcule o produto dentro da raiz:
Portanto
Passo 6
Agora voltamos à equação do Passo 3 que relaciona
com
:
Isolando
,
Vou explicar: multiplicamos ambos os lados por
para obter
.
Passo 7
Substituir os valores numéricos:
,
,
. Primeiro calcule
:
Agora a razão
:
Para facilitar: dividir por
é multiplicar por
, mas vou calcular diretamente:
Logo,
Passo 8
Verificação rápida de plausibilidade (rápida e intuitiva): o projétil é muito mais leve que o pêndulo (
contra
), então para imprimir
ao conjunto o projétil precisa de uma velocidade bem maior. O fator
é grande, então
sair como algumas centenas de metros por segundo faz sentido fisicamente.