2,5 pontos (Unicamp) Bungee jumping é um esporte radical, muito conhecido hoje em dia, em que uma pessoa salta de uma grande altura, presa a um cabo elástico. Considere o salto de uma pessoa de 80 kg . A velocidade maxima atingida pela pessoa durante a queda livre é de 20,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A partir desse instante, a força elástica do cabo começa a agir. O cabo atinge o dobro de seu comprimento normal quando a pessoa atinge o ponto mals baixo de sua trajetória. Para resolver as questōes abaixo, despreze a resistência do ar e considere \mathrm{g}=9,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
(a) 1,0 pontos Determine a constante elástica do cabo.
(b) 1,5 ponto Calcule o comprimento normal do cabo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara para a gente não se perder):
m=80\\ \mathrm{kg}
v_{\text{máx}}=20{,}0\\ \mathrm{m/s}á
g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}
O enunciado diz também que, no ponto mais baixo da trajetória, o cabo atinge o dobro do seu comprimento normal. Isso significa que a extensão do cabo, medido a partir do instante em que ele fica esticado até o ponto mais baixo, é exatamente igual ao comprimento normal do cabo. Em outras palavras, se chamarmos o comprimento normal de L, o ponto em que o cabo está totalmente esticado tem comprimento total 2L e a extensão (alonga-mento) é
x=L.
As perguntas são:
(a) Determine a constante elástica do cabo k.
(b) Calcule o comprimento normal do cabo L.

Passo 2

Entendendo o movimento antes do cabo começar a puxar: o enunciado diz que a velocidade máxima atingida durante a queda livre é v_{\text{máx}}=20{,}0\\ \mathrm{m/s}á e que, a partir desse instante, o cabo começa a atuar. Isso quer dizer que a pessoa caiu livremente por uma distância igual ao comprimento natural do cabo L até o cabo ficar esticado. Para queda livre sem resistência do ar, a relação cinemática que liga velocidade final à distância caída é a conhecida:
v^{2}=2 g h,
onde v é a velocidade ao atingir a altura abaixo, g a aceleração da gravidade e h a distância de queda. Aqui usamos v=v_{\text{máx}}á e h=L. Logo:
v_{\text{máx}}^{2}=2 g L.á

Passo 3

Isolando L da expressão anterior temos:
L=\frac{v_{\text{máx}}^{2}}{2 g}.á
Agora substituímos os valores numéricos dados. Primeiro calcule v_{\text{máx}}^{2}á:
v_{\text{máx}}^{2}=(20{,}0)^{2}=400{,}0\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.á
E 2g vale
2g=2\cdot 9{,}80=19{,}6\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto
L=\frac{400{,}0}{19{,}6}=20{,}408163\ldots\\ \mathrm{m}.
(Guardei esse valor para usar no cálculo do k.)

Passo 4

Agora vamos entender o trecho em que o cabo atua (quando a pessoa já tem velocidade v_{\text{máx}}á e o cabo passa a esticar). Nesse trecho a pessoa desce mais uma distância x (que, pelas informações, vale x=L) até o ponto mais baixo, onde ela momentaneamente para. Podemos usar a conservação de energia mecânica (sem atrito nem resistência do ar): a energia cinética inicial no momento em que o cabo começa a puxar, mais o trabalho da gravidade ao descer x, vira energia potencial elástica armazenada no cabo. Escrevendo isso:
\frac{1}{2} m v_{\text{máx}}^{2} + m g x = \frac{1}{2} k x^{2},á
onde \frac{1}{2}k x^{2} é a energia potencial elástica (energia armazenada numa mola / cabo elástico) quando a extensão é x. Aqui x é a extensão relativa ao comprimento natural; no nosso caso x=L.
Breve explicação das fórmulas usadas:
  • Energia cinética: \frac{1}{2} m v^{2}. m é a massa em quilogramas, v a velocidade em \mathrm{m/s}.
  • Trabalho da gravidade ao descer x: m g x. Corresponde à energia que a gravidade entrega ao sistema ao deslocar o corpo para baixo.
  • Energia potencial elástica: \frac{1}{2} k x^{2}. k é a constante elástica (N/m) e x a extensão (m).

Passo 5

Substituímos x=L na equação de energia:
\frac{1}{2} m v_{\text{máx}}^{2} + m g L = \frac{1}{2} k L^{2}.á
Podemos agora usar a relação já obtida em \# Passo 2, v_{\text{máx}}^{2}=2 g Lá, para simplificar o lado esquerdo. Substituindo:
\frac{1}{2} m (2 g L) + m g L = \frac{1}{2} k L^{2}.
O primeiro termo do lado esquerdo fica m g L, então somando com o segundo termo dá 2 m g L:
2 m g L = \frac{1}{2} k L^{2}.
Isolando k:
k=\frac{4 m g L}{L^{2}}=\frac{4 m g}{L}.
Essa expressão é muito prática: relaciona diretamente k com m, g e o comprimento natural L.

Passo 6

Agora substituímos valores numéricos na expressão obtida para k. Lembre-se do valor de L calculado no Passo 3, L\approx 20{,}408163\\ \mathrm{m}. Assim:
k=\frac{4\cdot 80\\ \mathrm{kg}\cdot 9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}}{20{,}408163\\ \mathrm{m}}.
Calculemos o numerador:
4\cdot 80\cdot 9{,}80=3136\\ \mathrm{N}.
Dividindo:
k=\frac{3136}{20{,}408163\ldots}=153{,}664\ldots\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando com cifras razoáveis (os dados dados têm em torno de 3 cifras significativas), obtemos
k\approx 154\\ \mathrm{N/m}.

Passo 7

Recapitulando numericamente:
  • Do Passo 3: L=\dfrac{v_{\text{máx}}^{2}}{2g}=\dfrac{(20{,}0)^{2}}{2\cdot 9{,}80}\approx 20{,}4\\ \mathrm{m}á.
  • Do Passo 6: k\approx 154\\ \mathrm{N/m}.
Observação final e incentivo: a chave da resolução foi (1) usar a cinemática da queda livre até o cabo ficar esticado para achar L e (2) aplicar conservação de energia no trecho em que o cabo estica para relacionar energia cinética, trabalho da gravidade e energia elástica. É um problema típico e muito didático — você já dominou o método!

Resposta

(a) k=154\\ \mathrm{N/m}
(b) L=20{,}4\\ \mathrm{m}

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