2,5 pontos (Unicamp) Bungee jumping é um esporte radical, muito conhecido hoje em dia, em que uma pessoa salta de uma grande altura, presa a um cabo elástico. Considere o salto de uma pessoa de 80 kg . A velocidade maxima atingida pela pessoa durante a queda livre é de
. A partir desse instante, a força elástica do cabo começa a agir. O cabo atinge o dobro de seu comprimento normal quando a pessoa atinge o ponto mals baixo de sua trajetória. Para resolver as questōes abaixo, despreze a resistência do ar e considere
.
(a) 1,0 pontos Determine a constante elástica do cabo.
(b) 1,5 ponto Calcule o comprimento normal do cabo.
(a) 1,0 pontos Determine a constante elástica do cabo.
(b) 1,5 ponto Calcule o comprimento normal do cabo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara para a gente não se perder):
O enunciado diz também que, no ponto mais baixo da trajetória, o cabo atinge o dobro do seu comprimento normal. Isso significa que a extensão do cabo, medido a partir do instante em que ele fica esticado até o ponto mais baixo, é exatamente igual ao comprimento normal do cabo. Em outras palavras, se chamarmos o comprimento normal de
, o ponto em que o cabo está totalmente esticado tem comprimento total
e a extensão (alonga-mento) é
As perguntas são:
(a) Determine a constante elástica do cabo .
(b) Calcule o comprimento normal do cabo .
(a) Determine a constante elástica do cabo
(b) Calcule o comprimento normal do cabo
Passo 2
Entendendo o movimento antes do cabo começar a puxar: o enunciado diz que a velocidade máxima atingida durante a queda livre é
e que, a partir desse instante, o cabo começa a atuar. Isso quer dizer que a pessoa caiu livremente por uma distância igual ao comprimento natural do cabo
até o cabo ficar esticado. Para queda livre sem resistência do ar, a relação cinemática que liga velocidade final à distância caída é a conhecida:
onde
é a velocidade ao atingir a altura abaixo,
a aceleração da gravidade e
a distância de queda. Aqui usamos
e
. Logo:
Passo 3
Isolando
da expressão anterior temos:
Agora substituímos os valores numéricos dados. Primeiro calcule
:
E
vale
Portanto
(Guardei esse valor para usar no cálculo do
.)
Passo 4
Agora vamos entender o trecho em que o cabo atua (quando a pessoa já tem velocidade
e o cabo passa a esticar). Nesse trecho a pessoa desce mais uma distância
(que, pelas informações, vale
) até o ponto mais baixo, onde ela momentaneamente para. Podemos usar a conservação de energia mecânica (sem atrito nem resistência do ar): a energia cinética inicial no momento em que o cabo começa a puxar, mais o trabalho da gravidade ao descer
, vira energia potencial elástica armazenada no cabo. Escrevendo isso:
onde
é a energia potencial elástica (energia armazenada numa mola / cabo elástico) quando a extensão é
. Aqui
é a extensão relativa ao comprimento natural; no nosso caso
.
Breve explicação das fórmulas usadas:
- Energia cinética:
. é a massa em quilogramas, a velocidade em . - Trabalho da gravidade ao descer
: . Corresponde à energia que a gravidade entrega ao sistema ao deslocar o corpo para baixo. - Energia potencial elástica:
. é a constante elástica (N/m) e a extensão (m).
Passo 5
Substituímos
na equação de energia:
Podemos agora usar a relação já obtida em
Passo 2,
, para simplificar o lado esquerdo. Substituindo:
O primeiro termo do lado esquerdo fica
, então somando com o segundo termo dá
:
Isolando
:
Essa expressão é muito prática: relaciona diretamente
com
,
e o comprimento natural
.
Passo 6
Agora substituímos valores numéricos na expressão obtida para
. Lembre-se do valor de
calculado no Passo 3,
. Assim:
Calculemos o numerador:
Dividindo:
Arredondando com cifras razoáveis (os dados dados têm em torno de 3 cifras significativas), obtemos
Passo 7
Recapitulando numericamente:
- Do Passo 3:
. - Do Passo 6:
.
Observação final e incentivo: a chave da resolução foi (1) usar a cinemática da queda livre até o cabo ficar esticado para achar
e (2) aplicar conservação de energia no trecho em que o cabo estica para relacionar energia cinética, trabalho da gravidade e energia elástica. É um problema típico e muito didático — você já dominou o método!
Resposta
(a)
(b)
(b)