Um solenóide muito longo tem 4,9 \times 10^{3} voltas por metro de fio e um raio de 11 cm . Ele carrega uma corrente alternada dada por I_{(t)}=I_{\mathrm{m}} \operatorname{sen}(2 \pi \mathrm{ft}), na qual a amplitude é \mathrm{I}_{\mathrm{m}}=1,4 \mathrm{~A} e a frequência é \mathrm{f}=2,3 \mathrm{kHz}. Qual é a magnitude máxima (amplitude) do campo elétrico induzido a um raio de 7,3 \mathrm{~cm} do eixo do solenóide?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.\n
  • Pede: a magnitude máxima (amplitude) do campo elétrico induzido a uma distância de 7,3\\ \text{cm} do eixo do solenóide.\n
  • Dados fornecidos no enunciado:\n
    \;n = 4{,}9\times 10^{3}\\ \text{voltas/m} (número de espiras por metro),\n
    \;R = 11\\ \text{cm} = 0{,}11\\ \text{m} (raio do solenóide),\n
    \;I(t)=I_{\mathrm{m}}\sin(2\pi f t) com \;I_{\mathrm{m}}=1{,}4\\ \text{A} e \;f=2{,}3\\ \text{kHz}=2300\\ \text{Hz},\n
    \;r=7{,}3\\ \text{cm}=0{,}073\\ \text{m} (ponto onde queremos o campo elétrico).\n
    Observação importante: r=0{,}073\\ \text{m}<R=0{,}11\\ \text{m}, ou seja, estamos pedindo o campo elétrico dentro do interior do solenóide.

Passo 2

Quando estamos dentro de um solenóide muito longo o campo magnético é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo. A fórmula para o campo magnético no interior de um solenóide longo é\n
B(t)=\mu_{0}\,n\,I(t)
onde:\n
  • \mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \text{H/m} é a permeabilidade do vácuo;\n
  • n é o número de voltas por metro (dado);\n
  • I(t) é a corrente no tempo (dada).\n
    Explicação rápida: essa expressão vem do resultado da lei de Ampère para um solenóide ideal — o campo fora é desprezível e dentro é proporcional à corrente por volta.

Passo 3

Substituímos a forma temporal da corrente na expressão do campo.\n
A corrente é \;I(t)=I_{\mathrm{m}}\sin(2\pi f t), logo\n
B(t)=\mu_{0}\,n\,I_{\mathrm{m}}\sin(2\pi f t).

Passo 4

O fluxo magnético através de uma superfície circular de raio r (coaxial com o solenóide) é o produto do campo pela área, pois o campo é uniforme e perpendicular à área:\n
\Phi_{B}(t)=B(t)\cdot \pi r^{2}.
Substituindo B(t) obtemos\n
\Phi_{B}(t)=\mu_{0}\,n\,I_{\mathrm{m}}\,\pi r^{2}\sin(2\pi f t).

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico induzido usamos a lei de Faraday na forma integral:\n
\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell} = -\frac{d\Phi_{B}}{dt}.
Por simetria, ao redor de um círculo de raio r centrado no eixo, o campo elétrico induzido é tangencial e tem mesmo módulo em todos os pontos do círculo. Então\n
\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=E(t)\cdot 2\pi r.
Daí isolamos E(t):\n
E(t) = -\frac{1}{2\pi r}\,\frac{d\Phi_{B}}{dt}.
A amplitude (magnitude máxima) de E será dada pelo valor máximo de \big|\frac{1}{2\pi r}\frac{d\Phi_{B}}{dt}\big|.

Passo 6

Calculamos a derivada do fluxo no tempo.\n
Diferenciando \Phi_{B}(t)=\mu_{0} n I_{\mathrm{m}} \pi r^{2}\sin(2\pi f t) obtemos\n
\frac{d\Phi_{B}}{dt}=\mu_{0}\,n\,I_{\mathrm{m}}\,\pi r^{2}\,(2\pi f)\cos(2\pi f t).
Substituindo em E(t):\n
E(t) = -\frac{1}{2\pi r}\,\mu_{0}\,n\,I_{\mathrm{m}}\,\pi r^{2}\,(2\pi f)\cos(2\pi f t).
Agora simplificamos fatores constantes. Note que há um fator 2\pi no numerador e um 2\pi no denominador que se cancelam, e sobra um \pi multiplicando f r. O resultado para a amplitude (valor máximo de |E(t)|, quando |\cos| = 1) é\n
E_{\text{máx}} = \mu_{0}\,n\,I_{\mathrm{m}}\,\pi\,f\,r.á
Isso é intuitivo: quanto maior a frequência f, maior a taxa de variação do fluxo e maior o campo elétrico induzido; quanto maior r, maior a área cuja variação de fluxo gera a força eletromotriz ao redor do caminho de raio r.

Passo 7

Agora substituímos os valores numéricos dados. Usaremos \mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \text{H/m}.\n
Escrevendo a expressão antes de calcular:\n
E_{\text{máx}} = \mu_{0}\,n\,I_{\mathrm{m}}\,\pi\,f\,r.á
Substituindo:\n
E_{\text{máx}} = (4\pi\times 10^{-7})\,(4{,}9\times 10^{3})\,(1{,}4)\,\pi\,(2300)\,(0{,}073).á

Passo 8

Fazendo as contas passo a passo (aproximações numéricas):\n
4\pi\times 10^{-7}\times \pi = 4\pi^{2}\times 10^{-7}\approx 4\times 9{,}8696\times 10^{-7}=39{,}4784\times 10^{-7}=3{,}94784\times 10^{-6}.
Multiplicando pelos demais fatores:\n
3{,}94784\times 10^{-6}\times 4{,}9\times 10^{3}\approx 0{,}0193544,\n
0{,}0193544\times 1{,}4\approx 0{,}0270962,\n
0{,}0270962\times 2300\approx 62{,}3613,\n
62{,}3613\times 0{,}073\approx 4{,}5524\\ \text{(V/m)}.

Passo 9

Arredondando de forma compatível com os dados (duas ou três algarismos significativos), obtemos\n
E_{\text{máx}}\approx 4{,}55\\ \text{V/m}.á

Resposta

4{,}55\\ \text{V/m}

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