Um solenóide muito longo tem 4,9 \times 10^{3} voltas por metro de fio e um raio de 11 cm . Ele carrega uma corrente alternada dada por I_{(t)}=I_{\mathrm{m}} \operatorname{sen}(2 \pi \mathrm{ft}), na qual a amplitude é \mathrm{I}_{\mathrm{m}}=1,4 \mathrm{~A} e a frequência é \mathrm{f}=2,3 \mathrm{kHz}. Qual é a magnitude máxima (amplitude) do campo elétrico induzido a um raio de 7,3 \mathrm{~cm} do eixo do solenóide?
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.\n
Pede: a magnitude máxima (amplitude) do campo elétrico induzido a uma distância de 7,3\\ \text{cm} do eixo do solenóide.\n
Dados fornecidos no enunciado:\n \;n = 4{,}9\times 10^{3}\\ \text{voltas/m} (número de espiras por metro),\n \;R = 11\\ \text{cm} = 0{,}11\\ \text{m} (raio do solenóide),\n \;I(t)=I_{\mathrm{m}}\sin(2\pi f t) com \;I_{\mathrm{m}}=1{,}4\\ \text{A} e \;f=2{,}3\\ \text{kHz}=2300\\ \text{Hz},\n \;r=7{,}3\\ \text{cm}=0{,}073\\ \text{m} (ponto onde queremos o campo elétrico).\n
Observação importante: r=0{,}073\\ \text{m}<R=0{,}11\\ \text{m}, ou seja, estamos pedindo o campo elétrico dentro do interior do solenóide.
Passo 2
Quando estamos dentro de um solenóide muito longo o campo magnético é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo. A fórmula para o campo magnético no interior de um solenóide longo é\n
B(t)=\mu_{0}\,n\,I(t)
onde:\n
\mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \text{H/m} é a permeabilidade do vácuo;\n
n é o número de voltas por metro (dado);\n
I(t) é a corrente no tempo (dada).\n
Explicação rápida: essa expressão vem do resultado da lei de Ampère para um solenóide ideal — o campo fora é desprezível e dentro é proporcional à corrente por volta.
Passo 3
Substituímos a forma temporal da corrente na expressão do campo.\n
A corrente é \;I(t)=I_{\mathrm{m}}\sin(2\pi f t), logo\n
B(t)=\mu_{0}\,n\,I_{\mathrm{m}}\sin(2\pi f t).
Passo 4
O fluxo magnético através de uma superfície circular de raio r (coaxial com o solenóide) é o produto do campo pela área, pois o campo é uniforme e perpendicular à área:\n
\Phi_{B}(t)=B(t)\cdot \pi r^{2}.
Substituindo B(t) obtemos\n
\Phi_{B}(t)=\mu_{0}\,n\,I_{\mathrm{m}}\,\pi r^{2}\sin(2\pi f t).
Passo 5
Para encontrar o campo elétrico induzido usamos a lei de Faraday na forma integral:\n
Por simetria, ao redor de um círculo de raio r centrado no eixo, o campo elétrico induzido é tangencial e tem mesmo módulo em todos os pontos do círculo. Então\n
\oint \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=E(t)\cdot 2\pi r.
Daí isolamos E(t):\n
E(t) = -\frac{1}{2\pi r}\,\frac{d\Phi_{B}}{dt}.
A amplitude (magnitude máxima) de E será dada pelo valor máximo de \big|\frac{1}{2\pi r}\frac{d\Phi_{B}}{dt}\big|.
Passo 6
Calculamos a derivada do fluxo no tempo.\n
Diferenciando \Phi_{B}(t)=\mu_{0} n I_{\mathrm{m}} \pi r^{2}\sin(2\pi f t) obtemos\n
\frac{d\Phi_{B}}{dt}=\mu_{0}\,n\,I_{\mathrm{m}}\,\pi r^{2}\,(2\pi f)\cos(2\pi f t).
Substituindo em E(t):\n
E(t) = -\frac{1}{2\pi r}\,\mu_{0}\,n\,I_{\mathrm{m}}\,\pi r^{2}\,(2\pi f)\cos(2\pi f t).
Agora simplificamos fatores constantes. Note que há um fator 2\pi no numerador e um 2\pi no denominador que se cancelam, e sobra um \pi multiplicando f r. O resultado para a amplitude (valor máximo de |E(t)|, quando |\cos| = 1) é\n
Isso é intuitivo: quanto maior a frequência f, maior a taxa de variação do fluxo e maior o campo elétrico induzido; quanto maior r, maior a área cuja variação de fluxo gera a força eletromotriz ao redor do caminho de raio r.
Passo 7
Agora substituímos os valores numéricos dados. Usaremos \mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \text{H/m}.\n
Escrevendo a expressão antes de calcular:\n