Um solenoide é projetado para produzir um campo magnético igual a
em seu centro. Ele possui raio de
, comprimento de
e o fio conduz uma corrente máxima de
. (a) Qual é o número mínimo de espiras que o solenoide deve ter? (b) Qual é o comprimento total do fio necessário?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) o número mínimo de espiras que o solenoide deve ter para produzir o campo magnético dado no centro e (b) o comprimento total do fio necessário para formar essas espiras.
Dados fornecidos (extraí exatamente os valores do enunciado):
Dados fornecidos (extraí exatamente os valores do enunciado):
Vou usar esses valores convertidos para o SI quando necessário (metros, tesla, ampère).
Passo 2
Entendendo a relação que liga os dados: para um solenoide comprido (aproximação usual), o campo magnético no interior próximo ao centro é dado pela fórmula
onde
é a permeabilidade do vácuo (
),
é a corrente no fio e
é o número de espiras por unidade de comprimento, isto é,
com
sendo o número total de espiras e
o comprimento do solenoide.
Explicando esse passo devagar: a fórmula diz que o campo cresce com a densidade de espiras
e com a corrente
;
é uma constante que traz as unidades certas e o valor físico do efeito magnético no vácuo.
Explicando esse passo devagar: a fórmula diz que o campo
Passo 3
Isolando
a partir das fórmulas acima: primeiro substituímos
em
, obtendo
Despejando
,
Agora vamos colocar os valores em unidades do SI:
,
,
,
. Substituindo,
Faço os cálculos em etapas para ficar claro: o numerador é
O denominador é
Portanto
Como o número de espiras
deve ser um número inteiro e queremos o número mínimo que assegure pelo menos o campo pedido, tomamos o teto (arredondar para cima):
Passo 4
Agora calculamos o comprimento total do fio. Cada espira é aproximadamente uma circunferência de raio
. Primeiro converto o raio para metros:
O comprimento de uma volta (circunferência) é
O comprimento total do fio para
espiras é
Substituindo
e
,
Calculo passo a passo:
. Então
Arredondando com sentido prático (e coerente com os dados dados), podemos dar o comprimento com três algarismos significativos:
Passo 5
Verificação rápida de unidades e sentido físico:
é adimensional (espiras), a fórmula usou metros e amperes corretamente, e o comprimento resultante está em metros. Reforço: usamos a aproximação do solenoide “comprido” (comprimento não muito menor que o raio), que é a fórmula padrão para provas; para um solenoide muito curto a expressão mudaria, mas com
e
a aproximação é razoável. Força a lembrar: sempre arredonde
para cima porque precisaríamos dessa espira extra se o valor calculado cair entre dois inteiros.
Resposta
(a)
espiras
(b)