Um solenoide é projetado para produzir um campo magnético igual a 0,06 \mathrm{~T} em seu centro. Ele possui raio de 2,50 \mathrm{~cm}, comprimento de 30,0 \mathrm{~cm} e o fio conduz uma corrente máxima de 8,0 \mathrm{~A}. (a) Qual é o número mínimo de espiras que o solenoide deve ter? (b) Qual é o comprimento total do fio necessário?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o número mínimo de espiras que o solenoide deve ter para produzir o campo magnético dado no centro e (b) o comprimento total do fio necessário para formar essas espiras.
Dados fornecidos (extraí exatamente os valores do enunciado):
B=0{,}06\\ \mathrm{T},\qquad R=2{,}50\\ \mathrm{cm},\qquad L=30{,}0\\ \mathrm{cm},\qquad I_{\max}=8{,}0\\ \mathrm{A}.
Vou usar esses valores convertidos para o SI quando necessário (metros, tesla, ampère).

Passo 2

Entendendo a relação que liga os dados: para um solenoide comprido (aproximação usual), o campo magnético no interior próximo ao centro é dado pela fórmula
B=\mu_0\,n\,I,
onde
\mu_0
é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}), I é a corrente no fio e n é o número de espiras por unidade de comprimento, isto é,
n=\frac{N}{L},
com N sendo o número total de espiras e L o comprimento do solenoide.
Explicando esse passo devagar: a fórmula diz que o campo B cresce com a densidade de espiras n e com a corrente I; \mu_0 é uma constante que traz as unidades certas e o valor físico do efeito magnético no vácuo.

Passo 3

Isolando N a partir das fórmulas acima: primeiro substituímos n=\dfrac{N}{L} em B=\mu_0 n I, obtendo
B=\mu_0\frac{N}{L}I.
Despejando N,
N=\frac{B\,L}{\mu_0\,I}.
Agora vamos colocar os valores em unidades do SI: L=30{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}300\\ \mathrm{m}, I=8{,}0\\ \mathrm{A}, B=0{,}06\\ \mathrm{T}, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}. Substituindo,
N=\frac{(0{,}06)\,(0{,}300)}{(4\pi\times10^{-7})\,(8{,}0)}.
Faço os cálculos em etapas para ficar claro: o numerador é
B\,L=(0{,}06)(0{,}300)=0{,}018.
O denominador é
\mu_0 I=(4\pi\times10^{-7})(8{,}0)= (32\pi)\times10^{-7}\approx 1{,}00530965\times10^{-5}.
Portanto
N=\frac{0{,}018}{1{,}00530965\times10^{-5}}\approx 1790{,}9.
Como o número de espiras N deve ser um número inteiro e queremos o número mínimo que assegure pelo menos o campo pedido, tomamos o teto (arredondar para cima):
N_{\min}=1791\\ \text{espiras}.

Passo 4

Agora calculamos o comprimento total do fio. Cada espira é aproximadamente uma circunferência de raio R. Primeiro converto o raio para metros:
R=2{,}50\\ \mathrm{cm}=0{,}0250\\ \mathrm{m}.
O comprimento de uma volta (circunferência) é
C=2\pi R.
O comprimento total do fio para N espiras é
\ell_{\text{total}}=N\cdot 2\pi R.
Substituindo N_{\min}=1791 e R=0{,}0250\\ \mathrm{m},
\ell_{\text{total}}=1791\cdot 2\pi\cdot 0{,}0250.
Calculo passo a passo: 2\pi R=2\pi(0{,}0250)\approx0{,}1570796327\\ \mathrm{m}. Então
\ell_{\text{total}}\approx1791\times0{,}1570796327\approx281{,}33\\ \mathrm{m}.
Arredondando com sentido prático (e coerente com os dados dados), podemos dar o comprimento com três algarismos significativos:
\ell_{\text{total}}\approx281\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Verificação rápida de unidades e sentido físico: N é adimensional (espiras), a fórmula usou metros e amperes corretamente, e o comprimento resultante está em metros. Reforço: usamos a aproximação do solenoide “comprido” (comprimento não muito menor que o raio), que é a fórmula padrão para provas; para um solenoide muito curto a expressão mudaria, mas com L=0{,}30\\ \mathrm{m} e R=0{,}025\\ \mathrm{m} a aproximação é razoável. Força a lembrar: sempre arredonde N para cima porque precisaríamos dessa espira extra se o valor calculado cair entre dois inteiros.

Resposta

(a) N_{\min}=1791 espiras
(b) \ell_{\text{total}}\approx281\\ \mathrm{m}

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